数列与级数:等差、等比与求和(Sigma)

等差数列

每一项与前一项相差一个常数d(公差)。第n项:aₙ = a₁ + (n − 1)d。前n项和:Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2 = n/2 · [2a₁ + (n − 1)d]。

等比数列

每一项是前一项乘以常数r(公比)。第n项:aₙ = a₁ · r^(n−1)。有限项和:Sₙ = a₁ (1 − rⁿ)/(1 − r)。

无穷等比级数

当且仅当|r| < 1时和收敛。此时:S∞ = a₁ / (1 − r)。

Sigma符号

Σ_{k=1}^{n} f(k) 表示"对 k = 1, 2, ..., n 求 f(k) 之和"。常用恒等式:

• Σ k = n(n+1)/2
• Σ k² = n(n+1)(2n+1)/6
• Σ c = c · n(常数)
• Σ [a·f(k) + b·g(k)] = a·Σf + b·Σg(线性性)

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