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Aprender · Álgebra 1

Sistemas de ecuaciones: tres métodos, un mismo punto de intersección

Un sistema de ecuaciones pregunta dónde se cruzan dos rectas. Tres formas de hallar ese punto — graficar, sustitución, eliminación — y cómo reconocer cuándo hay cero, una o infinitas soluciones.

9 minTEKS 5C,3F,3GÁlgebra 1

¿Dónde se encuentran dos rectas?

Un sistema de ecuaciones son simplemente dos ecuaciones que comparten las mismas variables. La solución es el punto (x, y) que satisface ambas ecuaciones — visualmente, el punto donde las dos rectas se cruzan.

Idea clave

Una ecuación lineal describe infinitos puntos (toda una recta). Dos ecuaciones lineales juntas usualmente fijan un punto específico — la intersección.

Tres resultados posibles

UNA soluciónpendientes distintas → se cruzan una vezSIN soluciónparalelas → nunca se cruzanINFINITAS solucionesmisma recta → se superponen totalmente
Pendientes distintas → se cruzan una vez. Misma pendiente, distinta ordenada al origen → paralelas, sin solución. Recta idéntica → infinitas.
¿Qué representa la solución?
Una solución de un sistema de dos ecuaciones lineales es el punto donde:
Sin solución
Un sistema de ecuaciones no tiene solución. Las rectas son:
Infinitas soluciones
Infinitas soluciones significa que las dos ecuaciones representan:

Método 1: Sustitución

Ideal cuando una de las ecuaciones ya tiene una variable despejada (como "y = ...").

y = 2x + 13x + y = 113x + (2x + 1) = 11 (sustituye y)5x + 1 = 11 → x = 2y = 2(2) + 1 = 5Solución: (2, 5)

Método 2: Eliminación

Ideal cuando ambas ecuaciones están en forma estándar (Ax + By = C). Suma o resta para eliminar una variable.

2x + 3y = 162x − y = 4 (resta para eliminar x)4y = 12 → y = 32x − 3 = 4 → x = 3.5Solución: (3.5, 3)

Método 3: Graficación

Traza ambas rectas y lee la intersección. Es útil para confirmación visual, pero las coordenadas que no son enteras son difíciles de leer con precisión en un gráfico.

Repaso en 3 segundos

  • La solución es el punto (x, y) que hace verdaderas ambas ecuaciones.
  • Pendientes distintas → una solución. Misma pendiente, distinta ordenada al origen → sin solución. Recta idéntica → infinitas.
  • Una variable ya despejada → sustitución. Ambas en forma estándar → eliminación.

Compruébate

Comprobación rápida #1
¿Qué significa que dos ecuaciones de un sistema den la misma recta al graficarlas?
Comprobación rápida #2
Resuelve el sistema: y = 2x + 1 y y = 3x − 4.