Hệ phương trình: Ba phương pháp, một giao điểm

Hệ phương trình hỏi hai đường thẳng cắt nhau ở đâu. Ba cách tìm điểm đó — vẽ đồ thị, thế, khử — và cách nhận biết khi nào hệ có không, một hoặc vô số nghiệm.

9 phútTEKS 5C,3F,3GĐại số 1

Hai đường thẳng gặp nhau ở đâu?

Hệ phương trình đơn giản là hai phương trình có chung các biến. Nghiệm là điểm (x, y) thỏa mãn cả hai phương trình — về mặt hình học, đó là điểm mà hai đường thẳng cắt nhau.

Ý tưởng chính

Một phương trình bậc nhất mô tả vô số điểm (cả một đường thẳng). Hai phương trình bậc nhất đi cùng nhau thường xác định duy nhất một điểm cụ thể — chính là giao điểm.

Ba khả năng có thể xảy ra

Hệ số góc khác nhau → cắt nhau một lần. Cùng hệ số góc, khác giao điểm với trục → song song, vô nghiệm. Trùng nhau hoàn toàn → vô số nghiệm.

Nghiệm biểu thị điều gì?

Nghiệm của một hệ hai phương trình bậc nhất là điểm mà tại đó:

Vô nghiệm

Một hệ phương trình vô nghiệm. Hai đường thẳng có quan hệ gì?

Vô số nghiệm

Hệ có vô số nghiệm nghĩa là hai phương trình biểu diễn:

Phương pháp 1: Thế

Hữu dụng nhất khi một phương trình đã có một biến được tách ra (kiểu "y = ...").

y = 2x + 13x + y = 113x + (2x + 1) = 11 (thế y vào)5x + 1 = 11 → x = 2y = 2(2) + 1 = 5Nghiệm: (2, 5)

Phương pháp 2: Khử (cộng đại số)

Hữu dụng nhất khi cả hai phương trình đều ở dạng chuẩn (Ax + By = C). Cộng hoặc trừ để khử một biến.

2x + 3y = 162x − y = 4 (trừ để khử x)4y = 12 → y = 32x − 3 = 4 → x = 3.5Nghiệm: (3.5, 3)

Phương pháp 3: Vẽ đồ thị

Vẽ cả hai đường thẳng và đọc giao điểm. Tốt để xác nhận trực quan, nhưng các tọa độ không nguyên thì rất khó đọc chính xác trên đồ thị.

Tóm tắt 3 giây

Nghiệm là điểm (x, y) làm cả hai phương trình cùng đúng.
Hệ số góc khác nhau → một nghiệm. Cùng hệ số góc, khác giao điểm → vô nghiệm. Trùng đường thẳng → vô số.
Một biến đã tách sẵn → thế. Cả hai ở dạng chuẩn → khử.

Tự kiểm tra

Kiểm tra nhanh #1

Nếu hai phương trình trong một hệ khi vẽ đồ thị đều cho cùng một đường thẳng, điều đó có nghĩa gì?

Kiểm tra nhanh #2

Giải hệ: y = 2x + 1 và y = 3x − 4.