원뿔곡선: 원, 타원, 포물선, 쌍곡선
네 가지 원뿔곡선과 그 표준형이 꼭짓점, 초점, 점근선을 한눈에 드러내는 방식입니다.
네 가지 원뿔곡선과 그 특징
- 원: (x − h)² + (y − k)² = r² → 중심 (h, k), 반지름 r
- 타원: (x − h)²/a² + (y − k)²/b² = 1 → 중심 (h, k); 주축은 분모가 더 큰 축을 따릅니다
- 포물선: (x − h)² = 4p(y − k) (위/아래로 열림) 또는 (y − k)² = 4p(x − h) (좌/우로 열림)
- 쌍곡선: (x − h)²/a² − (y − k)²/b² = 1 (좌우) 또는 (y − k)²/a² − (x − h)²/b² = 1 (상하)
빠른 판별 규칙
- x²과 y²의 계수가 같고 더해져 있으면 → 원
- 양의 계수가 서로 다르고 더해져 있으면 → 타원
- 한 변수는 제곱, 다른 변수는 일차이면 → 포물선
- 두 제곱의 차 = 1이면 → 쌍곡선
초점과 이심률
| 원뿔곡선 | c 관계 | 이심률 e |
|---|---|---|
| 원 | c = 0 | e = 0 |
| 타원 | c² = a² − b² | 0 < e < 1, e = c/a |
| 포물선 | 초점까지 거리 p | e = 1 |
| 쌍곡선 | c² = a² + b² (더하기임에 주의!) | e > 1, e = c/a |
⚠️ 부호 함정
타원은 c² = a² − b², 쌍곡선은 c² = a² + b²입니다. 많은 학생이 이 둘을 혼동합니다 — 타원은 빼기, 쌍곡선은 더하기라고 외우십시오.
스스로 점검하기
📌 판별
x²/9 − y²/16 = 1의 종류는?
제곱항 사이에 빼기 → 쌍곡선. x²이 앞에 오므로 → 수평으로 열립니다.
CBE 형식의 연습 문제로 훈련하기
원뿔곡선은 Pre-Calc Sem B 연습에서 훈련하십시오.