수열과 급수: 등차, 등비, 시그마
Pre-Calc 수열 문제를 모두 해결하는 네 가지 공식 — 그리고 무한합의 존재 여부를 결정하는 수렴 규칙입니다.
등차수열
각 항은 이전 항과 상수 d(공차)만큼 차이가 납니다. 제n항: aₙ = a₁ + (n − 1)d. 처음 n항의 합: Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2 = n/2 · [2a₁ + (n − 1)d].
등비수열
각 항은 이전 항에 상수 r(공비)을 곱한 값입니다. 제n항: aₙ = a₁ · r^(n−1). 유한합: Sₙ = a₁ (1 − rⁿ)/(1 − r).
무한등비급수
합이 수렴하려면 |r| < 1이어야 합니다. 그러면: S∞ = a₁ / (1 − r).
📐 예시
1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...은 r = 1/2이고 |r| < 1 → S = 1/(1 − 1/2) = 2입니다. 그러나 1 + 2 + 4 + 8 + ...은 r = 2 ≥ 1 → 발산합니다 (합은 ∞이며 값이 없습니다).
시그마 표기
Σ_{k=1}^{n} f(k)는 "k = 1, 2, ..., n에 대해 f(k)의 합"을 의미합니다. 유용한 항등식:
- Σ k = n(n+1)/2
- Σ k² = n(n+1)(2n+1)/6
- Σ c = c · n (상수)
- Σ [a·f(k) + b·g(k)] = a·Σf + b·Σg (선형성)
스스로 점검하기
📌 계산
무한급수 3 + 1 + 1/3 + 1/9 + ...의 합을 구하세요.
a₁ = 3, r = 1/3입니다. S = 3/(1 − 1/3) = 3/(2/3) = 9/2입니다.
CBE 형식의 연습 문제로 훈련하기
수열과 급수는 Pre-Calc Sem B 연습에서 훈련하십시오.