复数:当求根公式遇到负判别式
虚数单位 i = √(−1) 把数轴扩展成一个平面。掌握复数的四则运算,以及做除法时"乘以共轭"的技巧,你就能处理 CBE 上所有"无实数解"的二次方程。
当实数不够用时,数学就发明新的数
方程 x² = −1 没有实数解——不存在任何实数平方后得到负数。于是数学家干脆发明了一个: i,定义为满足 i² = −1。一旦你接受了 i,每个二次方程都恰好有两个根,整个代数世界依然自洽。
核心思想
复数的形式是 a + bi: 由实部和虚部组成。把 i 当作普通变量处理,只要遵守 i² = −1 这条规则,其余一切都会自然推导出来。
定义式
i 为虚数单位时,i² 等于多少?
虚数单位的定义就是 i² = −1。这是整个复数体系的起点。
i 的幂——四次循环
i1 = ii2 = −1i3 = i2 · i = −ii4 = (i2)2 = 1 (之后开始循环)把指数除以 4,看余数即可: 0 → 1、1 → i、2 → −1、3 → −i。
复数的四则运算
- 加 / 减
- 实部与实部相加,虚部与虚部相加。(3 + 4i) + (1 − 2i) = 4 + 2i。
- 乘
- 用分配律(FOIL)展开,再把 i² 替换成 −1。(1 + i)(2 + 3i) = 2 + 3i + 2i + 3i² = 2 + 5i − 3 = −1 + 5i。
- 共轭
- 把虚部符号反过来: (a + bi) 的共轭是 (a − bi)。用于化简除法。
除法: 乘以共轭
要化简分母含 i 的分式,把分子分母同时乘以分母的共轭。结果的分母就是一个实数。
(1 + i) / (1 − i)= (1 + i)(1 + i) / [(1 − i)(1 + i)] (乘以共轭)= (1 + 2i + i²) / (1 − i²)= (1 + 2i − 1) / (1 + 1) = 2i / 2= i
当判别式为负时
回顾上一课: 判别式 < 0 意味着没有实数根。而在复数范围内,这些根依然存在——只是它们是虚数罢了。
x² + 4x + 5 = 0 (判别式 = 16 − 20 = −4)x = (−4 ± √−4) / 2√−4 = √4 · √−1 = 2ix = (−4 ± 2i) / 2 = −2 ± i当多项式的系数都是实数时,复数根总是以共轭对(a + bi 与 a − bi)出现。
3秒回顾
- i = √(−1),所以 i² = −1。这是定义式。
- 加/减: 同类项相加;乘: FOIL 后替换 i²。
- 除: 乘以分母的共轭。
- 判别式为负 → 复数根以共轭对形式出现。
自我检查
快速检查 #1
化简: (3 + 2i) + (4 − 5i)。
实部相加: 3 + 4 = 7;虚部相加: 2i + (−5i) = −3i。结果: 7 − 3i。
快速检查 #2
i² 等于多少?
根据定义,i = √(−1),所以 i² = −1。这是复数的基本规则,也是判别式为负时会出现复数解的原因。