二次函数精通:顶点式、配方法与判别式
Algebra 1让你认识了抛物线,Algebra 2要求你熟练:在三种形式间自如切换,心算配方,并通过判别式在动手求解前就知道有几个实根。
从"记住公式"到"三种形式自如切换"
Algebra 1教你记住求根公式和一种形式。Algebra 2要求你运用自如:画图用顶点式,套公式用一般式,求根用因式分解式——并能在几秒钟内相互转换。
三种形式
一般式:f(x) = ax2 + bx + c顶点式:f(x) = a(x − h)2 + k因式分解式:f(x) = a(x − r1)(x − r2)同一条抛物线,三个视角。用对应问题的那种形式。
什么时候用哪种形式?
要顶点?→ 顶点式;要根?→ 因式分解式;要套求根公式?→ 一般式。
从顶点式读顶点
f(x) = 2(x − 3)2 + 5顶点式a(x − h)2 + k → 顶点(h, k)顶点:(3, 5)
读取顶点
求f(x) = 2(x − 3)² + 5的顶点。
顶点式为f(x) = a(x − h)² + k,顶点(h, k)。这里h = 3,k = 5,所以顶点是(3, 5)。
配方法
目标:把一般式转化为顶点式。诀窍是把b的一半平方,加(同时也要减!)在里面。
x2 + 6x + 5 = 0x2 + 6x = −5 (把c移到右边)x2 + 6x + 9 = −5 + 9 (两边加上(b/2)² = 9)(x + 3)2 = 4x + 3 = ±2x = −1 或 x = −5
配方求解
用配方法解:x² + 6x + 5 = 0。
x² + 6x = −5 → x² + 6x + 9 = 4 → (x + 3)² = 4 → x + 3 = ±2 → x = −1 或 x = −5。
判别式告诉你有几个根
判别式 = b2 − 4ac正:两个不同的实根(抛物线与x轴相交两次)零:一个二重实根(抛物线恰好与x轴相切)负:无实根——两个复根(抛物线不与x轴相交)
计算判别式
x² + 4x + 5 = 0的判别式是:
判别式 = b² − 4ac = 16 − 20 = −4。由于为负,方程有两个复根(非实数根)。
实际应用:抛物运动
把一个球竖直向上抛出,高度方程为h(t) = −16t² + 64t + 5(高度单位英尺,t单位秒)。最高点出现在顶点处。
tmax = −b / (2a) = −64 / (−32) = 2秒h(2) = −64 + 128 + 5 = 69英尺
最大高度
一球被抛出,h(t) = −16t² + 64t + 5,h以英尺为单位,t以秒为单位。最大高度是多少?
顶点t = −b/(2a) = −64/(−32) = 2。h(2) = −64 + 128 + 5 = 69英尺。
3秒回顾
- 三种形式:一般式、顶点式、因式分解式。看题挑形式。
- 由一般式求顶点:x = −b / (2a)。
- 配方法:两边加(b/2)2。
- 判别式b2−4ac:+ → 2实根,0 → 1重根,− → 2复根。
自我检查
快速检查 #1
把y = x² + 6x + 5转化为顶点式。
配方:x² + 6x = (x + 3)² − 9。所以y = (x + 3)² − 9 + 5 = (x + 3)² − 4。顶点:(−3, −4)。
快速检查 #2
x² + 4x + 5 = 0有几个实数解?
判别式b² − 4ac = 16 − 20 = −4。判别式为负意味着没有实数解——抛物线不与x轴相交(有2个复数解)。