数列、级数与圆锥曲线
Algebra 1 引入了等差与等比数列。Algebra 2 用闭合公式对它们求和，并加入四种圆锥曲线——circle、ellipse、parabola、hyperbola——从方程一眼识别。
求和与图形
本课把两个大主题合二为一——series 求和（把一大堆加法压缩成一个公式）和圆锥曲线（从方程判断曲线形状）。两者都奖励善于识别模式的学生。
等差级数 (arithmetic series)
Sn = n(a1 + an) / 2n = 项数, a1 = 首项, an = 末项首末两项的平均 × 项数。（把两头配对来想。）
例题
2 + 5 + 8 + ... + 32 (公差为 3)n = (32 − 2)/3 + 1 = 11 项Sum = 11 · (2 + 32) / 2 = 11 · 17 = 187
等差级数求和
求等差级数 2 + 5 + 8 + ... + 32 的和。
a₁ = 2, d = 3, 末项 aₙ = 32。n = (32 − 2)/3 + 1 = 11。Sum = n(a₁ + aₙ)/2 = 11 · 34 / 2 = 187。
等比级数 (geometric series)
Sn = a1(rn − 1) / (r − 1) (r ≠ 1)无穷级数 (|r| < 1): S∞ = a1 / (1 − r)无穷和收敛的前提是公比 r 的绝对值小于 1。
等比级数求和
对于等比级数 3 + 6 + 12 + ... + 192，和是多少？
a₁ = 3, r = 2。192 = 3 · 2ⁿ⁻¹ → 2ⁿ⁻¹ = 64 → n = 7。Sum = a₁(rⁿ − 1)/(r − 1) = 3(128 − 1)/1 = 381。
四种圆锥曲线
识别清单
- x² + y² = r²: circle (半径 r)
- x²/a² + y²/b² = 1: ellipse
- x²/a² − y²/b² = 1: hyperbola (注意减号)
- y = ax² + bx + c: parabola (只有一个变量平方)
从方程识别 circle
方程 x² + y² = 25 表示：
x² + y² = r² 是以原点为中心的圆。这里 r² = 25，所以 r = 5。
椭圆的标准形式
中心在原点、长轴水平的椭圆的标准形式是：
原点为中心的椭圆：x²/a² + y²/b² = 1。当 a > b（a 在 x² 之下）时，长轴水平。
3 秒复盘
- 等差求和： n(a1 + an)/2 —— 首末配对。
- 等比求和： a1(rn − 1)/(r − 1)。|r| < 1 时的无穷和：a1/(1 − r)。
- 圆锥曲线：+ 椭圆/圆，− 双曲线，仅一个平方项就是抛物线。
- 先看方程形式，再挑公式。
自我检验
Quick check #1
求等差级数 2 + 5 + 8 + 11 + 14 前 5 项的和。
Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2。n = 5, a₁ = 2, a₅ = 14：S₅ = 5(2 + 14)/2 = 5·8 = 40。
Quick check #2
哪种圆锥曲线的方程是 x²/9 + y²/4 = 1？
标准形式 x²/a² + y²/b² = 1，两个正的分母不同时是椭圆。（若 a = b，是圆；若正负号不同，是双曲线；一个平方项 + 一个一次项是抛物线。）