函数变换:平移、反射、伸缩——一个方程告诉你全部
只要认识"母函数",看方程就能画出任何变换后的图像。掌握四个动作——垂直/水平平移、反射、伸缩——你就能一眼画出所有二次函数、根号函数和绝对值函数的图像。
每一族函数都有一个"母函数"
Algebra 2引入了六种母函数(parent function):一次函数、二次函数、平方根函数、三次函数、立方根函数、绝对值函数。任何更复杂的函数都只不过是在母函数上做了平移、反射或伸缩。学会从方程中读出这些动作,你不必描点就能画出图像。
核心思想
括号内(与x相关):影响横向,与直觉相反;括号外(与y相关):影响纵向,与直觉一致。
六种母函数
- 一次函数:f(x) = x
- 过原点的直线,斜率为1。
- 二次函数:f(x) = x²
- 开口向上的U形抛物线,顶点在原点。
- 平方根函数:f(x) = √x
- 从原点出发的半支曲线,只在x ≥ 0时有定义。
- 三次函数:f(x) = x³
- 过原点的S形曲线;两端方向相反。
- 立方根函数:f(x) = ∛x
- 过原点的横躺S形;对所有实数x都有定义。
- 绝对值函数:f(x) = |x|
- 顶点在原点、开口向上的V形。
四种变换
g(x) = a · f(b(x − h)) + kh控制水平平移(h > 0 向右)k控制垂直平移(k > 0 向上)a控制垂直伸缩/反射(为负 = 关于x轴翻转)b控制水平伸缩/反射(为负 = 关于y轴翻转)
括号内方向相反
(x − 3)会把图像向右平移3个单位,而非向左。减号已经内置在公式中。(x + 3)同理——这意味着h = −3,所以图像向左平移3个单位。
例题:平移
把f(x) = x²的图像向右平移3个单位,向下平移4个单位。求新方程。
向右3 → 把x替换为(x − 3)向下4 → 整个函数减去4g(x) = (x − 3)² − 4
应用两次平移
f(x) = x²的图像向右平移3、向下平移4。新方程为:
向右平移h对应(x − h),向下平移k对应减去k。所以f(x − 3) − 4 = (x − 3)² − 4。
反射(对称)
y = −f(x):关于x轴反射y = f(−x):关于y轴反射负号在输出上→上下翻转;负号在输入上→左右翻转。
识别正确的反射
下列哪种变换会把y = f(x)的图像沿x轴反射?
对输出乘−1(y = −f(x))会让图像沿x轴上下翻转。f(−x)则是关于y轴反射。
函数复合
(f ∘ g)(x)读作"f of g of x"——先应用g,再把结果代入f。
f(x) = x + 3, g(x) = x²(f ∘ g)(2) = f(g(2)) = f(4) = 7顺序重要:(g ∘ f)(2) = g(f(2)) = g(5) = 25,结果完全不同。
复合两个函数
若f(x) = x + 3,g(x) = x²,求(f ∘ g)(2)。
(f ∘ g)(x) = f(g(x)) = f(x²) = x² + 3。x = 2时:4 + 3 = 7。
3秒回顾
- 函数外部= 垂直移动(与直觉一致)
- 函数内部= 水平移动(与直觉相反)
- 外部负号→关于x轴翻转;内部负号→关于y轴翻转
- (f ∘ g)(x) = f(g(x))——从右往左做
自我检查
快速检查 #1
y = (x − 4)²的图像与y = x²有何不同?
y = f(x − h)把图像向右平移h个单位。括号内的符号方向与实际方向相反。所以x − 4 = 向右平移4。
快速检查 #2
y = √x的图像向下平移4个单位,新方程为?
在函数外部加减的位移使图像沿垂直方向移动。y = f(x) − 4 表示向下移动4个单位。