有理函数:渐近线、空洞与那些"禁止代入"的值
有理函数就是两个多项式的商。掌握垂直与水平渐近线的来源,并区分"渐近线"与"空洞"。
带"禁止代入"的函数
有理函数就是一个多项式除以另一个多项式。凡是分母为 0 的地方,函数就没有定义——那里要么出现垂直渐近线,要么出现一个"空洞"。直接从表达式里读出这些特征,就是本单元的全部功夫。
垂直渐近线
f(x) = 1 / (x − 2)分母在 x = 2 处为 0 → 垂直渐近线 x = 2当 x 逼近 2 时,函数值飞到 ±∞。
找垂直渐近线
f(x) = 1 / (x − 2) 的垂直渐近线是什么?
垂直渐近线出现在分母为 0 的地方: x − 2 = 0,得 x = 2。
水平渐近线
当 x 趋于 ±∞ 时,函数值的走向由分子和分母的次数决定。
分子次数 < 分母次数: y = 0分子次数 = 分母次数: y = 首项系数之比分子次数 > 分母次数: 无水平渐近线(可能有斜渐近线,或无渐近线)
例子
f(x) = (2x + 1) / (x − 4)分子分母均为一次;首项系数之比 = 2/1水平渐近线: y = 2
找水平渐近线
对于 f(x) = (2x + 1) / (x − 4),水平渐近线是什么?
当分子和分母次数相等时,水平渐近线 = 首项系数之比 = 2/1 = 2。
空洞与渐近线的区别
如果分子和分母之间有一个公因式可以约掉,那里就是空洞(hole),而不是渐近线。函数的形状与化简后的表达式相同,只是少了一个点。
f(x) = (x² − 9) / (x + 3)= (x − 3)(x + 3) / (x + 3) (因式分解)= x − 3 (约分,但 x ≠ −3)是 x − 3 这条直线的图像,只不过在 x = −3 处有一个空洞。
化简并找到空洞
将有理式 (x² − 9) / (x + 3) 完全化简。
分子因式分解: (x − 3)(x + 3)。约去 (x + 3),得 x − 3 (x ≠ −3,那里有空洞)。
3秒回顾
- 垂直渐近线: 该 x 使分母为 0(而分子不为 0)。
- 空洞: 因式被约掉——同一个 x,但没有渐近线。
- 水平渐近线: 比较次数;相等 → 首项系数之比。
- 始终要检查原函数的定义域——被约掉的因式的零点仍然要排除。
自我检查
快速检查 #1
f(x) = 1/(x − 3) 的垂直渐近线是什么?
垂直渐近线出现在分母为 0(且分子不为 0)之处。x − 3 = 0 → x = 3。
快速检查 #2
在 f(x) = (x + 2)/(x − 5) 中,哪个 x 值是被禁止的?
分母不能为 0 (除以 0 无意义)。x − 5 ≠ 0 → x ≠ 5。