Números complejos: cuando la fórmula cuadrática da un discriminante negativo

La unidad imaginaria i = √(−1) extiende la recta numérica hasta convertirla en un plano. Domina la aritmética de los números complejos y el truco del conjugado para dividir, y podrás resolver cualquier ecuación cuadrática "sin solución real" del CBE.

8 minTEKS 4FÁlgebra 2

Cuando los números reales se agotan, las matemáticas inventan nuevos

La ecuación x² = −1 no tiene solución real — no existe ningún número real que al elevarlo al cuadrado dé un número negativo. Así que los matemáticos inventaron uno: i, definido de modo que i² = −1. En cuanto aceptas i, toda ecuación cuadrática tiene exactamente dos raíces y todo el universo algebraico se mantiene coherente.

Idea clave

Los números complejos tienen la forma a + bi: una parte real y una parte imaginaria. Trata i como una variable, con la regla i² = −1. Todo lo demás se deduce de ahí.

La ecuación fundamental

¿Cuánto vale i², donde i es la unidad imaginaria?

Potencias de i — el ciclo de cuatro

i¹ = ii² = −1i³ = i² · i = −ii⁴ = (i²)² = 1 (y a partir de aquí se repite)Divide el exponente entre 4 y fíjate en el resto: 0 → 1, 1 → i, 2 → −1, 3 → −i.

Aritmética con números complejos

Sumar / restar: Combina parte real con parte real, e imaginaria con imaginaria. (3 + 4i) + (1 − 2i) = 4 + 2i.
Multiplicar: Distribuye (FOIL) y sustituye i² por −1. (1 + i)(2 + 3i) = 2 + 3i + 2i + 3i² = 2 + 5i − 3 = −1 + 5i.
Conjugado: Cambia el signo de la parte imaginaria: el conjugado de (a + bi) es (a − bi). Sirve para simplificar la división.

División: multiplicar por el conjugado

Para simplificar una fracción con i en el denominador, multiplica numerador y denominador por el conjugado del denominador. El resultado es un denominador real.

(1 + i) / (1 − i)= (1 + i)(1 + i) / [(1 − i)(1 + i)] (multiplica por el conjugado)= (1 + 2i + i²) / (1 − i²)= (1 + 2i − 1) / (1 + 1) = 2i / 2= i

Cuando el discriminante es negativo

De la lección anterior: discriminante < 0 significa "no hay raíces reales". Con los números complejos, esas raíces sí existen — simplemente son imaginarias.

x² + 4x + 5 = 0 (discriminante = 16 − 20 = −4)x = (−4 ± √−4) / 2√−4 = √4 · √−1 = 2ix = (−4 ± 2i) / 2 = −2 ± iLas raíces complejas siempre aparecen en pares conjugados (a + bi y a − bi) cuando el polinomio tiene coeficientes reales.

Repaso en 3 segundos

i = √(−1), así que i² = −1. Ésa es la ecuación fundamental.
Sumar/restar: combina las partes correspondientes. Multiplicar: FOIL y luego sustituye i².
Dividir: multiplica por el conjugado del denominador.
Discriminante negativo → raíces complejas en pares conjugados.

Compruébate

Comprobación rápida #1

Simplifica: (3 + 2i) + (4 − 5i).

Comprobación rápida #2

¿Cuánto vale i² ?