对数函数:指数函数的反函数

对数问的是"指数是多少?"。掌握定义与三条性质(积/商/幂),你就能解任何底数的指数方程。

9 分钟TEKS 5A,5B,5C代数 2

对数只回答一个问题:"指数是几?"

log_b(x) 问的是: "要把 b 提高到几次幂才能得到 x?" 就这么简单。一旦把这个问题记牢,所有对数题都会变成一道"翻译练习"。

log_b(x) = y ⟺ b^y = x对数方程和指数方程只是同一件事的两种表达方式。

log₂(8) = 3 (2 的几次方 = 8? 答: 3)log₁₀(1000) = 3 (10 的立方 = 1000)log₂(32) = 5 (2⁵ = 32)ln(e²) = 2 (ln 表示以 e 为底的对数)

直接读出对数

求对数 log₂(32) (底数为 2) 的值。

积: log(ab) = log(a) + log(b)商: log(a/b) = log(a) − log(b)幂: log(aⁿ) = n · log(a)三条都把乘/除/幂运算换成加/减/乘运算。这正是对数的魔力。

log(8) + log(125)= log(8 · 125)= log(1000)= 3 (假设底数为 10)

用积性质合并

利用对数性质化简: log(8) + log(125)。

大多数计算器只有 log₁₀ (直接写"log")和 ln (自然对数,底为 e)。要计算 log₃(20),就用:

log_b(x) = log(x) / log(b) = ln(x) / ln(b)log₃(20) = log(20) / log(3) ≈ 1.301 / 0.477 ≈ 2.727

"撤销"技巧

要解 b^x = y,对两边同时取 log_b: x = log_b(y)。要解 log_b(x) = y,把两边都作为 b 的指数: x = b^y。

检查定义域

log_b(x) 只在 x > 0 时有意义。解出对数方程后,一定要验证原来的真数(log 内的表达式)确实为正,否则就是增根(不合理的解)。

快速检查 #1

求 log₂(8) 的值。

快速检查 #2

解 x: log(x) = 2 (假设底数为 10)。