Số phức: Khi công thức nghiệm bậc hai gặp biệt thức âm
Đơn vị ảo i = √(−1) mở rộng trục số thành một mặt phẳng. Nắm vững phép tính với số phức và mẹo nhân với số phức liên hợp khi chia, các em sẽ xử lý được mọi bài toán bậc hai "không có nghiệm thực" trên kỳ thi CBE.
Khi số thực không đủ, toán học phát minh ra số mới
Phương trình x² = −1 không có nghiệm thực — không có số thực nào bình phương lên lại ra số âm. Vì vậy các nhà toán học đã tạo ra một con số mới: i, được định nghĩa sao cho i² = −1. Khi các em chấp nhận i, mọi phương trình bậc hai đều có đúng hai nghiệm, và toàn bộ hệ thống đại số vẫn nhất quán.
Số phức có dạng a + bi: gồm phần thực và phần ảo. Hãy coi i như một biến số bình thường, chỉ cần nhớ quy tắc i² = −1. Mọi điều khác sẽ suy ra từ đây.
Lũy thừa của i — chu kỳ 4
Phép tính với số phức
- Cộng / trừ
- Ghép phần thực với phần thực, phần ảo với phần ảo. (3 + 4i) + (1 − 2i) = 4 + 2i.
- Nhân
- Phân phối (FOIL), rồi thay i² bằng −1. (1 + i)(2 + 3i) = 2 + 3i + 2i + 3i² = 2 + 5i − 3 = −1 + 5i.
- Số phức liên hợp
- Đổi dấu phần ảo: liên hợp của (a + bi) là (a − bi). Dùng để rút gọn phép chia.
Phép chia: nhân với số liên hợp
Để rút gọn phân thức có i ở mẫu, hãy nhân cả tử lẫn mẫu với số liên hợp của mẫu. Kết quả là một mẫu số thực.
Khi biệt thức âm
Ở bài trước: biệt thức < 0 nghĩa là không có nghiệm thực. Với số phức, những nghiệm đó vẫn tồn tại — chỉ là chúng ở dạng ảo.
Tóm tắt 3 giây
- i = √(−1), nên i² = −1. Đây là đẳng thức định nghĩa.
- Cộng/trừ: ghép các phần tương ứng. Nhân: FOIL rồi thay i².
- Chia: nhân với số liên hợp của mẫu.
- Biệt thức âm → nghiệm phức đi thành cặp liên hợp.