복소수: 근의 공식이 음수 판별식을 만났을 때

허수 단위 i = √(−1)는 수직선을 평면으로 확장합니다. 복소수의 사칙연산과 나눗셈에서 쓰이는 켤레(공액) 기법을 익히면 CBE에 나오는 "실수해 없음" 이차방정식을 모두 처리할 수 있습니다.

8 분TEKS 4F대수학 2

실수가 부족할 때, 수학은 새로운 수를 만들어냅니다

방정식 x² = −1은 실수해를 가지지 않습니다 — 제곱해서 음수가 되는 실수는 존재하지 않기 때문입니다. 그래서 수학자들은 아예 새로운 수를 만들었습니다: i, 다시 말해 i² = −1이 되도록 정의된 수입니다. 일단 i를 받아들이면, 모든 이차방정식은 정확히 두 개의 근을 갖게 되고, 대수 전체가 모순 없이 유지됩니다.

핵심 아이디어

복소수는 a + bi 형태입니다: 실수부와 허수부를 갖습니다. i를 그냥 변수처럼 다루되, i² = −1이라는 규칙만 지키면 됩니다. 나머지는 여기서 자연스럽게 따라옵니다.

정의식

허수 단위 i에 대하여 i²의 값은?

i의 거듭제곱 — 4주기 순환

i¹ = ii² = −1i³ = i² · i = −ii⁴ = (i²)² = 1 (이후 반복됩니다)지수를 4로 나눈 나머지를 보세요: 0 → 1, 1 → i, 2 → −1, 3 → −i.

복소수의 사칙연산

덧셈/뺄셈: 실수부는 실수부끼리, 허수부는 허수부끼리 결합합니다. (3 + 4i) + (1 − 2i) = 4 + 2i.
곱셈: 분배법칙(FOIL)으로 전개한 뒤 i²을 −1로 바꿉니다. (1 + i)(2 + 3i) = 2 + 3i + 2i + 3i² = 2 + 5i − 3 = −1 + 5i.
켤레(공액): 허수부의 부호를 바꿉니다: (a + bi)의 켤레는 (a − bi)입니다. 나눗셈을 정리할 때 사용합니다.

나눗셈: 켤레를 곱하기

분모에 i가 들어 있는 분수를 정리하려면, 분자와 분모에 동시에 분모의 켤레를 곱합니다. 그러면 분모가 실수가 됩니다.

(1 + i) / (1 − i)= (1 + i)(1 + i) / [(1 − i)(1 + i)] (켤레를 곱한다)= (1 + 2i + i²) / (1 − i²)= (1 + 2i − 1) / (1 + 1) = 2i / 2= i

판별식이 음수일 때

앞 강의에서 판별식 < 0이면 실수해가 없다고 배웠습니다. 복소수의 세계에서는 그 근들이 실제로 존재합니다 — 단지 허수일 뿐입니다.

x² + 4x + 5 = 0 (판별식 = 16 − 20 = −4)x = (−4 ± √−4) / 2√−4 = √4 · √−1 = 2ix = (−4 ± 2i) / 2 = −2 ± i계수가 실수인 다항식의 경우, 복소근은 항상 켤레쌍(a + bi와 a − bi)으로 나타납니다.

3초 요약

i = √(−1), 그러므로 i² = −1. 이것이 정의식입니다.
덧셈/뺄셈: 같은 종류의 부분끼리 결합. 곱셈: FOIL 후 i²을 대입.
나눗셈: 분모의 켤레를 곱하기.
판별식이 음수 → 복소근은 켤레쌍으로 나옴.

스스로 점검

빠른 점검 #1

간단히 하시오: (3 + 2i) + (4 − 5i).

빠른 점검 #2

i² 의 값은?