反函数:如何"倒推"一条规则
反函数把原函数"倒回去"。交换x和y,再对y求解——技巧就这一步。此外还有几何意义(关于直线y = x对称),以及判断是否可逆的水平线测试。
反函数把原函数"倒回去"
如果函数f把3 → 7,那么反函数f⁻¹就把7 → 3。无论f应用了什么规则,f⁻¹都会一步步倒回去。复合运算能还原原始输入:f⁻¹(f(x)) = x。
核心思想
反函数把输入和输出的角色互换。代数上:交换x和y,再对y求解;几何上:关于直线y = x作对称。
"交换—求解"方法
f(x) = 2x + 1y = 2x + 1 (改写为 y = …)x = 2y + 1 (交换x和y)x − 1 = 2y (分离y)y = (x − 1) / 2f⁻¹(x) = (x − 1) / 2
求反函数
若f(x) = 2x + 1,反函数f⁻¹(x) = ?
交换x和y:x = 2y + 1。对y求解:y = (x − 1)/2。所以f⁻¹(x) = (x − 1)/2。
图像:关于y = x对称
水平线测试
并非所有函数都有反函数
要让反函数也是函数,原函数必须通过水平线测试:没有任何一条水平线与图像相交超过一次。不能通过测试的函数(如y = x²)必须先限制定义域,才能求反函数。
例题:限制二次函数的定义域
在全体实数上,f(x) = x²不通过水平线测试(y = 4会与图像相交两次)。但若限制在x ≥ 0上,其反函数就是f⁻¹(x) = √x。
为什么√x只是"一半"的反函数
√4 = 2(仅取正平方根)——这就是x²的反函数(限制x ≥ 0)为√x而非±√x的原因。数学家把正的一支定义为主反函数(principal inverse)。
3秒回顾
- f(f⁻¹(x)) = x与f⁻¹(f(x)) = x——两者互相抵消。
- 求法:交换x和y,再对y求解。
- 画法:关于y = x对称。
- 不通过水平线测试→先限制定义域。
自我检查
快速检查 #1
求f(x) = 2x − 6的反函数。
求反函数:交换x和y,再解y。y = 2x − 6 → x = 2y − 6 → x + 6 = 2y → y = (x + 6)/2。故f⁻¹(x) = (x + 6)/2。
快速检查 #2
要使一个函数拥有"也是函数"的反函数,它必须具备什么性质?
一个函数的反函数也是函数,当且仅当它是一一对应——每个y值只对应一个x值。水平线测试正是用来判断这一点的。