指数函数进阶:连续增长、e 与半衰期
Algebra 1 引入了指数增长。Algebra 2 更进一步:自然底数 e、连续复利,以及半衰期以年为单位计量的衰减问题。
从离散到连续
Algebra 1 用 P(1 + r)t 表示每年结算一次的复利。Algebra 2 引入 Pert 表示连续复利——也就是利息在每一瞬间都被计入本金时会发生的情况。自然底数 e ≈ 2.71828 是让指数函数的微积分变得最干净的那个唯一常数。
自然底数 e
e = limn→∞ (1 + 1/n)n ≈ 2.71828当你把复利结算频率提高到极限时,自然就会出现 e。函数 f(x) = eˣ 的导数恰好就是它自己。
连续复利
A = PertP = 本金,r = 年利率(小数),t = 时间年利率 5%,3 年: A = P · e0.05·3 = P · e0.15 ≈ 1.162 P
年复利 vs 连续复利
相同的利率与时间下,连续复利总会略高于年复利: er > (1 + r)。利率越大,两者差距越大。
连续复利公式
以下哪个表示本金 $P、年利率 r、时间 t 年的连续复利?
连续复利使用 A = Pert。离散的年复利公式则是 P(1 + r)t。
半衰期:衰减问题
对于放射性同位素(以及许多其他衰减过程),每经过一个固定时间段,剩余量都会乘以 ½。
A(t) = A0 · (1/2)t/hA0 = 初始量,h = 半衰期,t = 经过的时间
例题
半衰期 10 年,经过 40 年半衰期次数 = 40 / 10 = 4剩余比例 = (1/2)4 = 1/16
经过 4 个半衰期
某放射性同位素的半衰期为 10 年。40 年后剩余的比例是多少?
40 / 10 = 4 个半衰期。(1/2)⁴ = 1/16。
解指数方程(不使用对数)
如果两边都能写成同一底数,直接让指数相等即可。
3x = 813x = 34 (把 81 写成 34)x = 4底数相同时,指数也必须相同。(底数不同,就需要用对数——下一课。)
同底数技巧
解指数方程 3ˣ = 81,求 x。
81 = 3⁴,所以 3ˣ = 3⁴ 意味着 x = 4。
3秒回顾
- e ≈ 2.71828 是自然底数。连续复利公式: A = Pert。
- 半衰期: 半衰期次数 = 经过时间 ÷ 半衰期,再乘 (1/2)该次数。
- 两边同底 → 令指数相等。
- 底数不同 → 使用对数(下一课)。
自我检查
快速检查 #1
某放射性物质的半衰期为 10 年,30 年后剩余的比例是多少?
每经过一个半衰期,剩余量减半。30 年 = 3 个半衰期 → (1/2)³ = 1/8。
快速检查 #2
哪个公式建模的是连续复利?
连续复利使用以自然底数为底的指数函数: A = Pert,其中 e ≈ 2.718。第一个公式属于周期复利,其余不是复利公式。