多项式函数:端点走向、根,以及有理根定理
代数基本定理保证 n 次多项式恰有 n 个根。掌握有理根定理与端点走向规则,你就能因式分解那些靠单纯试值搞不定的高次多项式。
次数更高,但逻辑一样
Algebra 1 里,你学过因式分解二次式。Algebra 2 则把你带到 5 次乃至更高。代数基本定理告诉我们: n 次多项式恰好有 n 个根 (计入复数根与重根)。
端点走向由次数和首项系数决定
偶次数,首项系数为正: 两端 → +∞偶次数,首项系数为负: 两端 → −∞奇次数,首项系数为正: 左端 → −∞,右端 → +∞奇次数,首项系数为负: 左端 → +∞,右端 → −∞
判断端点走向
f(x) = −2x⁴ + 3x² + 5 的端点走向是什么?
偶次(4)加上首项系数为负(−2),两端都往下走到 −∞。
n 次多项式最多有 n 个实根
代数基本定理
n 次多项式共有恰好 n 个根(实根 + 复数根,计入重根)。其中最多 n 个可以是实根。
实根的最大个数
一个多项式的次数为 5,它最多能有多少个实根?
n 次多项式最多有 n 个实根(基本定理: 连同复数根和重根共恰好 n 个)。
有理根定理
对于整系数多项式,任何有理根都具有 ±(常数项的因数)/(首项系数的因数) 的形式。
x³ − 4x² + x + 6 = 0常数项 = 6 → 因数 ±1, ±2, ±3, ±6首项系数 = 1 → 因数 ±1可能的有理根: ±1, ±2, ±3, ±6用综合除法逐一测试。一旦找到一个根,就把多项式降为二次式。
列出候选值
根据有理根定理,x³ − 4x² + x + 6 = 0 的可能有理根必须来自:
有理根定理: 候选 = ±(常数项因数) / (首项系数因数)。常数为 6,首项为 1,所以候选为 ±1, ±2, ±3, ±6。
综合除法(提速利器)
综合除法是将多项式除以 (x − r) 的简化写法。若余数为 0,则 r 是根,商就是你要的因式。
用 (x − 3) 除 x³ − 4x² + x + 6:各项系数: [1, −4, 1, 6],除数 3先落下 1;1·3 = 3 → −4 + 3 = −1−1·3 = −3 → 1 + (−3) = −2−2·3 = −6 → 6 + (−6) = 0 (余数 = 0,所以 3 确实是根)商: x² − x − 2 = (x − 2)(x + 1)全部根: x = 3, 2, −1
3秒回顾
- 次数 n → 最多 n 个实根;总共恰好 n 个根 (包含复数根)。
- 端点走向: 奇偶 × +/− 共 4 种情况。
- 有理根定理: 候选 = ±(常数因数)/(首项因数)。
- 综合除法: 比长除法快;余数为 0 就意味着你找到根了。
自我检查
快速检查 #1
f(x) = −2x³ + 5 的端点走向是什么?
奇次多项式若首项系数为负,图像在左端升高、右端下降。所以右侧 ↘,左侧 ↗。
快速检查 #2
f(x) = (x − 1)(x + 2)(x − 5) 有多少个实根?
在因式分解形式下,每个 (x − a) 给出 x = a 的一个实根。这里根为 x = 1、x = −2、x = 5 —— 三个不同的实根。