平方根函数、立方根函数、三次函数与绝对值函数
四种母函数,四种形状,四套规则。你将学到平方根函数的定义域限制、立方根函数的对称性、绝对值函数的 V 形,以及变换规则如何一致地作用于这四种函数。
同一模板,不同形状
下面这些母函数都遵循函数变换那一课讲过的同一套变换规则。变的只是母函数的形状,以及你必须留意的定义域限制。
平方根:定义域受限
f(x) = √x定义域: x ≥ 0 (偶次根号内不能是负数)值域: y ≥ 0
注意定义域
对于 f(x) = √(x − 4),根号里的 (x − 4) 必须 ≥ 0,所以 x ≥ 4。图像从 (4, 0) 开始,向右延伸。
求定义域
f(x) = √(x − 4) 的定义域是什么?
偶次根号里的表达式必须非负: x − 4 ≥ 0,即 x ≥ 4。
解含根号的方程
√(x + 5) = 3(√(x + 5))² = 3² (两边平方)x + 5 = 9x = 4务必代回原方程检验: √(4+5) = √9 = 3 ✓。
增根
两边平方可能引入不满足原方程的解。一定要代回验证。
解一个平方根方程
解方程 √(x + 5) = 3,求 x。
两边平方: x + 5 = 9,所以 x = 4。验证: √9 = 3 ✓。
立方根:对所有实数都有定义
与平方根不同,立方根可以接受任意输入——包括负数。∛(−8) = −2,因为 (−2)³ = −8。
关键区别
平方根:定义域 x ≥ 0。立方根:定义域是全体实数。CBE 常常直接考察这一区别。
比较定义域
关于 f(x) = ∛x (立方根),下面哪一项正确?
立方根对每个实数都有定义(包括负数,因为 (−2)³ = −8)。值域同样是全体实数。
绝对值:到零点的距离
当 a ≥ 0 时 |a| = a;当 a < 0 时 |a| = −a。y = |x| 的图像是以原点为顶点的 V 形。
解绝对值方程
若 |某表达式| = k (且 k > 0),里面可以等于 +k 或 −k。两个方程,两个解。
|2x − 5| = 72x − 5 = 7 或 2x − 5 = −72x = 12 → x = 62x = −2 → x = −1x = 6 或 x = −1
解一个绝对值方程
求解绝对值方程 |2x − 5| = 7 的所有 x 值。
|2x − 5| = 7 拆成 2x − 5 = 7 (x = 6) 和 2x − 5 = −7 (x = −1)。
3秒回顾
- √:定义域 x ≥ 0。两边平方求解,务必验根。
- ∛:定义域是全体实数。两边立方求解。
- x³:S 形;任何 x³ = k 都有唯一实数根。
- |x| = k:拆成两式(里面 = ±k);若 k < 0 则无解。
自我检查
快速检查 #1
f(x) = √(x − 5) 的定义域是什么?
平方根要求根号内(被开方数)≥ 0 才有实数输出。x − 5 ≥ 0 → x ≥ 5。
快速检查 #2
解 |2x − 3| = 7。
绝对值方程拆成两种情况: 2x − 3 = 7 → x = 5;或 2x − 3 = −7 → x = −2。