🎯Lock in $19.99 pricing before September 1, 2026· Save $10 on every full-credit subject through August. Pricing returns to $29.99 on Sept 1.· Ends Aug 31, 2026
Funciones exponenciales avanzadas: crecimiento continuo, e y vida media
Álgebra 1 introdujo el crecimiento exponencial. Álgebra 2 lo profundiza: la base natural e, la capitalización continua y los problemas de decaimiento en los que la vida media se mide en años.
9 minTEKS 5A,5BÁlgebra 2
De lo discreto a lo continuo
En Álgebra 1 se usaba P(1 + r)t para el interés compuesto aplicado cada año. Álgebra 2 introduce Pert para la capitalización continua — lo que ocurre cuando el interés se añade en cada instante. La base natural e ≈ 2.71828 es el único número que hace que el cálculo diferencial de las funciones exponenciales quede limpio.
La base natural e
e = limn→∞ (1 + 1/n)n ≈ 2.71828e aparece de forma natural como límite al capitalizar cada vez con más frecuencia. La función f(x) = eˣ es su propia derivada.
Capitalización continua
A = PertP = capital inicial, r = tasa (en decimal), t = tiempoPara una tasa anual del 5% durante 3 años: A = P · e0.05·3 = P · e0.15 ≈ 1.162 P
Anual vs. continua
Para la misma tasa y el mismo tiempo, la capitalización continua siempre produce un poco más que la anual: er > (1 + r). La diferencia crece con la tasa.
Fórmula de capitalización continua
¿Cuál representa el interés compuesto continuo de $P a una tasa r durante t años?
La capitalización continua usa A = Pert. La fórmula discreta anual es P(1 + r)t.
Vida media: problemas de decaimiento
Para los isótopos radiactivos (y muchos otros procesos de decaimiento), cada intervalo fijo de tiempo multiplica la cantidad restante por ½.
A(t) = A0 · (1/2)t/hA0 = cantidad inicial, h = periodo de vida media, t = tiempo transcurrido
Ejemplo resuelto
Vida media 10 años, transcurridos 40 añosNúmero de vidas medias = 40 / 10 = 4Fracción que queda = (1/2)4 = 1/16
Vida media a lo largo de 4 periodos
Un isótopo radiactivo tiene una vida media de 10 años. ¿Qué fracción queda al cabo de 40 años?
Si puedes reescribir ambos lados con la misma base, basta con igualar los exponentes.
3x = 813x = 34 (reescribe 81 como 34)x = 4Cuando las bases coinciden, los exponentes también tienen que coincidir. (Para bases distintas necesitas logaritmos — próxima lección.)
Truco de la misma base
Resuelve la ecuación exponencial 3ˣ = 81 para x.
81 = 3⁴, así que 3ˣ = 3⁴ significa x = 4.
Repaso en 3 segundos
e ≈ 2.71828 es la base natural. A = Pert para capitalización continua.
Vida media: número de vidas medias = tiempo transcurrido ÷ periodo de vida media; multiplica por (1/2)ese número.
Misma base en ambos lados → iguala exponentes.
Bases distintas → usa logaritmos (próxima lección).
Compruébate
Comprobación rápida #1
Una sustancia radiactiva tiene una vida media de 10 años. Al cabo de 30 años, ¿qué fracción queda?
Cada vida media reduce la cantidad a la mitad. 30 años = 3 vidas medias → (1/2)³ = 1/8 restante.
Comprobación rápida #2
¿Qué fórmula modela el interés compuesto continuo?
La capitalización continua utiliza la exponencial de base natural: A = Pert, con e ≈ 2.718. La primera fórmula corresponde a la capitalización periódica, y las otras no son fórmulas de interés compuesto.