지수함수 심화: 연속 성장, 자연상수 e, 그리고 반감기

Algebra 1에서 지수적 성장을 배웠다면, Algebra 2에서는 그것을 한 단계 더 깊게 다룹니다: 자연상수 e, 연속 복리, 그리고 반감기가 몇 년 단위로 주어지는 감쇠 문제까지 다룹니다.

9 분TEKS 5A,5B대수학 2

이산에서 연속으로

Algebra 1에서는 매년 이자가 붙는 복리를 P(1 + r)^t로 표현했습니다. Algebra 2에서는 매 순간 이자가 붙는 상황, 즉 연속 복리를 다루기 위해 Pe^rt를 도입합니다. 자연상수 e ≈ 2.71828은 지수함수의 미적분을 가장 깔끔하게 만들어 주는 유일한 수입니다.

자연상수 e

e = lim_n→∞ (1 + 1/n)ⁿ ≈ 2.71828복리 계산을 점점 더 자주 할수록 나타나는 극한값이 바로 e입니다. 함수 f(x) = eˣ는 자기 자신을 도함수로 가집니다.

연속 복리

A = Pe^rtP = 원금, r = 이자율(소수), t = 시간연 5% 이자율로 3년 → A = P · e^0.05·3 = P · e^0.15 ≈ 1.162 P

연 복리 vs 연속 복리

같은 이자율·같은 기간이라면, 연속 복리는 항상 연 복리보다 조금 더 큰 금액을 만듭니다: e^r > (1 + r). 이자율이 클수록 차이도 커집니다.

연속 복리 공식

원금 $P를 이자율 r로 t년 동안 연속 복리로 굴렸을 때의 금액은?

반감기: 감쇠 문제

방사성 동위원소를 비롯한 많은 감쇠 과정에서, 일정한 시간 간격이 지날 때마다 남은 양이 ½씩 곱해집니다.

A(t) = A₀ · (1/2)^t/hA₀ = 초기량, h = 반감기, t = 경과 시간

예제

반감기 10년, 경과 40년반감기 횟수 = 40 / 10 = 4남은 비율 = (1/2)⁴ = 1/16

4번의 반감기

반감기가 10년인 방사성 동위원소가 있습니다. 40년 후 남아 있는 양의 비율은?

지수 방정식 풀이 (로그 없이)

양변을 같은 밑으로 다시 쓸 수 있다면, 지수만 서로 같다고 놓으면 됩니다.

3^x = 813^x = 3⁴ (81을 3⁴로 다시 씀)x = 4밑이 같으면 지수도 같아야 합니다. (밑이 다르면 로그가 필요합니다 — 다음 강의에서 배웁니다.)

같은 밑 활용

지수방정식 3ˣ = 81의 해를 구하시오.

3초 요약

e ≈ 2.71828은 자연상수. 연속 복리 공식은 A = Pe^rt.
반감기: 반감기 횟수 = 경과 시간 ÷ 반감기, 그리고 (1/2)^{그 수}를 곱함.
양변의 밑이 같음 → 지수만 같다고 놓기.
밑이 다름 → 로그 사용 (다음 강의).

스스로 점검

빠른 점검 #1

반감기가 10년인 방사성 물질이 있습니다. 30년이 지난 후 남는 비율은?

빠른 점검 #2

연속 복리를 나타내는 공식은?