Hàm mũ nâng cao: Tăng trưởng liên tục, số e và chu kỳ bán rã

Algebra 1 đã giới thiệu tăng trưởng theo hàm mũ. Algebra 2 đào sâu hơn: số tự nhiên e, phép ghép lãi liên tục, và các bài toán phân rã trong đó chu kỳ bán rã được tính theo năm.

9 phútTEKS 5A,5BĐại số 2

Từ rời rạc đến liên tục

Algebra 1 dùng P(1 + r)^t cho phép ghép lãi mỗi năm một lần. Algebra 2 giới thiệu Pe^rt cho phép ghép lãi liên tục — tức là khi lãi được cộng vào từng khoảnh khắc. Số tự nhiên e ≈ 2,71828 là con số duy nhất khiến phép tính vi phân của hàm mũ trở nên gọn gàng.

Số tự nhiên e

e = lim_n→∞ (1 + 1/n)ⁿ ≈ 2,71828e xuất hiện tự nhiên khi các em ghép lãi ngày càng thường xuyên hơn. Hàm số f(x) = eˣ có đạo hàm bằng chính nó.

Ghép lãi liên tục

A = Pe^rtP = số tiền gốc, r = lãi suất (dạng thập phân), t = thời gianVới lãi suất 5%/năm trong 3 năm: A = P · e^0,05·3 = P · e^0,15 ≈ 1,162 P

Năm một lần vs liên tục

Cùng lãi suất và cùng thời gian, ghép lãi liên tục luôn cho ra một số tiền lớn hơn ghép lãi theo năm một chút: e^r > (1 + r). Lãi suất càng lớn thì khoảng cách này càng rộng.

Công thức ghép lãi liên tục

Công thức nào biểu diễn lãi kép liên tục cho số tiền $P với lãi suất r trong t năm?

Chu kỳ bán rã: bài toán phân rã

Với các đồng vị phóng xạ (và nhiều quá trình phân rã khác), cứ sau mỗi khoảng thời gian cố định thì lượng còn lại được nhân với ½.

A(t) = A₀ · (1/2)^t/hA₀ = lượng ban đầu, h = chu kỳ bán rã, t = thời gian đã trôi qua

Ví dụ minh họa

Chu kỳ bán rã 10 năm, đã trôi qua 40 nămSố chu kỳ bán rã = 40 / 10 = 4Tỉ lệ còn lại = (1/2)⁴ = 1/16

Bán rã trong 4 chu kỳ

Một đồng vị phóng xạ có chu kỳ bán rã 10 năm. Sau 40 năm, tỉ lệ còn lại là bao nhiêu?

Giải phương trình mũ (không dùng lôgarit)

Nếu các em viết được cả hai vế về cùng cơ số, chỉ cần cho các số mũ bằng nhau là xong.

3^x = 813^x = 3⁴ (viết 81 dưới dạng 3⁴)x = 4Khi cơ số trùng nhau thì số mũ cũng phải bằng nhau. (Với cơ số khác nhau, các em sẽ cần đến lôgarit — bài tiếp theo.)

Mẹo cùng cơ số

Giải phương trình mũ 3ˣ = 81 theo x.

Tóm tắt 3 giây

e ≈ 2,71828 là số tự nhiên. A = Pe^rt cho ghép lãi liên tục.
Bán rã: số chu kỳ bán rã = thời gian trôi qua ÷ chu kỳ bán rã; rồi nhân với (1/2)^{số đó}.
Cùng cơ số ở hai vế → cho số mũ bằng nhau.
Cơ số khác nhau → dùng lôgarit (bài tiếp theo).

Tự kiểm tra

Kiểm tra nhanh #1

Một chất phóng xạ có chu kỳ bán rã 10 năm. Sau 30 năm, tỉ lệ còn lại là bao nhiêu?

Kiểm tra nhanh #2

Công thức nào mô hình hóa lãi kép liên tục?