Transformaciones de funciones: desplazar, reflejar, estirar — una sola ecuación te lo dice todo

Cuando conoces la función madre, puedes esbozar cualquier transformación leyendo la ecuación. Domina los cuatro movimientos — desplazamiento vertical/horizontal, reflexión, estiramiento — y graficarás cada función cuadrática, radical y de valor absoluto a simple vista.

9 minTEKS 2A,2B,2C,2DÁlgebra 2

Cada familia de funciones tiene una "madre"

Álgebra 2 introduce seis funciones madre: lineal, cuadrática, raíz cuadrada, cúbica, raíz cúbica y valor absoluto. Toda función más complicada es simplemente una función madre a la que se le aplican desplazamientos, reflexiones o estiramientos. Lee esos movimientos directamente en la ecuación y podrás dibujar el gráfico sin marcar un solo punto.

Idea clave

Dentro del paréntesis (con x): afecta al sentido horizontal — y contradice tu intuición. Fuera del paréntesis (con y): afecta al sentido vertical — y coincide con tu intuición.

Las seis funciones madre

Tres de las seis funciones madre. Las de raíz cúbica, cúbica y valor absoluto siguen la misma lógica pero con formas diferentes.

Lineal: f(x) = x: Línea recta que pasa por el origen, pendiente 1.
Cuadrática: f(x) = x²: Parábola en forma de U que se abre hacia arriba, con vértice en el origen.
Raíz cuadrada: f(x) = √x: Media curva que comienza en el origen, definida solo para x ≥ 0.
Cúbica: f(x) = x³: Forma de S que pasa por el origen; los extremos opuestos van en direcciones opuestas.
Raíz cúbica: f(x) = ∛x: S tumbada que pasa por el origen; definida para todo x real.
Valor absoluto: f(x) = |x|: Forma de V con vértice en el origen, abriéndose hacia arriba.

Las cuatro transformaciones

g(x) = a · f(b(x − h)) + kh desplaza horizontalmente (a la derecha si h > 0)k desplaza verticalmente (hacia arriba si k > 0)a estira/refleja verticalmente (negativo = espejo respecto al eje x)b estira/refleja horizontalmente (negativo = espejo respecto al eje y)

Dentro del paréntesis va al revés

(x − 3) desplaza el gráfico 3 unidades a la derecha, no a la izquierda. El signo menos ya está incorporado en la fórmula. Igual con (x + 3) — significa h = −3, así que el gráfico se desplaza 3 unidades a la izquierda.

Ejemplo resuelto: desplazamientos

El gráfico de f(x) = x² se desplaza 3 unidades a la derecha y 4 unidades hacia abajo. Halla la nueva ecuación.

Derecha 3 → reemplaza x por (x − 3)Abajo 4 → resta 4 a toda la funcióng(x) = (x − 3)² − 4

Aplica dos desplazamientos

El gráfico de f(x) = x² se desplaza 3 unidades a la derecha y 4 unidades hacia abajo. La nueva ecuación es:

Reflexiones

y = −f(x): refleja respecto al eje xy = f(−x): refleja respecto al eje yNegativo en la SALIDA invierte arriba/abajo. Negativo en la ENTRADA invierte izquierda/derecha.

Identifica la reflexión correcta

¿Qué transformación refleja el gráfico de y = f(x) respecto al eje x?

Composición de funciones

(f ∘ g)(x) significa "f de g de x" — aplica primero g y luego pasa el resultado a f.

f(x) = x + 3, g(x) = x²(f ∘ g)(2) = f(g(2)) = f(4) = 7El orden importa: (g ∘ f)(2) = g(f(2)) = g(5) = 25, que es diferente.

Compón dos funciones

Si f(x) = x + 3 y g(x) = x², ¿cuánto vale (f ∘ g)(2)?

Repaso en 3 segundos

Fuera de la función = movimiento vertical (coincide con la intuición)
Dentro de la función = movimiento horizontal (invertido)
Negativo fuera → espejo respecto al eje x. Negativo dentro → espejo respecto al eje y.
(f ∘ g)(x) = f(g(x)) — trabaja de derecha a izquierda.

Compruébate

Comprobación rápida #1

¿En qué se diferencia el gráfico de y = (x − 4)² respecto a y = x²?

Comprobación rápida #2

El gráfico de y = √x se desplaza 4 unidades hacia abajo. ¿Cuál es la nueva ecuación?