Phép biến hình đồ thị: Tịnh tiến, phản chiếu, co giãn — một phương trình nói lên tất cả

Khi các em đã biết hàm cơ bản (parent function), chỉ cần đọc phương trình là có thể phác họa mọi phép biến hình. Nắm vững bốn thao tác — tịnh tiến dọc/ngang, phản chiếu, co giãn — và các em sẽ vẽ được mọi hàm bậc hai, hàm căn thức và hàm giá trị tuyệt đối chỉ trong một cái nhìn.

9 phútTEKS 2A,2B,2C,2DĐại số 2

Mỗi họ hàm đều có một hàm "cha mẹ"

Algebra 2 giới thiệu sáu hàm cơ bản (parent function): hàm bậc nhất, bậc hai, căn bậc hai, bậc ba, căn bậc ba và giá trị tuyệt đối. Mọi hàm phức tạp hơn đều chỉ là một hàm cơ bản đã được tịnh tiến, phản chiếu hoặc co giãn. Đọc ra các phép biến đổi này từ phương trình là các em có thể phác họa đồ thị mà không cần vẽ một điểm nào.

Ý tưởng lớn

Bên trong dấu ngoặc (đi với x): ảnh hưởng theo phương ngang — và ngược với trực giác. Bên ngoài dấu ngoặc (đi với y): ảnh hưởng theo phương dọc — và trùng với trực giác.

Sáu hàm cơ bản

Ba trong sáu hàm cơ bản. Căn bậc ba, bậc ba và giá trị tuyệt đối cùng logic nhưng khác hình dạng.

Bậc nhất: f(x) = x: Đường thẳng qua gốc tọa độ, hệ số góc bằng 1.
Bậc hai: f(x) = x²: Parabol hình chữ U mở lên, đỉnh tại gốc tọa độ.
Căn bậc hai: f(x) = √x: Nửa đường cong bắt đầu từ gốc, chỉ xác định khi x ≥ 0.
Bậc ba: f(x) = x³: Hình chữ S qua gốc; hai đầu đi theo hai hướng ngược nhau.
Căn bậc ba: f(x) = ∛x: Chữ S nằm ngang qua gốc; xác định với mọi số thực x.
Giá trị tuyệt đối: f(x) = |x|: Hình chữ V có đỉnh tại gốc, mở lên trên.

Bốn phép biến hình

g(x) = a · f(b(x − h)) + kh tịnh tiến ngang (sang phải khi h > 0)k tịnh tiến dọc (lên trên khi k > 0)a co giãn/phản chiếu dọc (âm = lật qua trục x)b co giãn/phản chiếu ngang (âm = lật qua trục y)

Bên trong ngoặc thì ngược chiều

(x − 3) tịnh tiến đồ thị sang phải 3 đơn vị, chứ không phải sang trái. Dấu trừ đã được tính sẵn trong công thức. Với (x + 3) cũng vậy — đó là h = −3, nên đồ thị tịnh tiến sang trái 3 đơn vị.

Ví dụ minh họa: tịnh tiến

Đồ thị của f(x) = x² được tịnh tiến sang phải 3 đơn vị và xuống dưới 4 đơn vị. Tìm phương trình mới.

Sang phải 3 → thay x bằng (x − 3)Xuống dưới 4 → trừ 4 vào toàn bộ hàmg(x) = (x − 3)² − 4

Áp dụng hai phép tịnh tiến

Đồ thị của f(x) = x² được tịnh tiến sang phải 3 và xuống 4. Phương trình mới là:

Phản chiếu (đối xứng)

y = −f(x): đối xứng qua trục xy = f(−x): đối xứng qua trục yDấu âm ở ĐẦU RA lật đồ thị lên/xuống. Dấu âm ở ĐẦU VÀO lật trái/phải.

Nhận diện phép đối xứng đúng

Phép biến đổi nào lật đồ thị y = f(x) qua trục x?

Hợp thành hàm số

(f ∘ g)(x) có nghĩa là "f của g của x" — áp dụng g trước, rồi lấy kết quả đưa vào f.

f(x) = x + 3, g(x) = x²(f ∘ g)(2) = f(g(2)) = f(4) = 7Thứ tự có ý nghĩa: (g ∘ f)(2) = g(f(2)) = g(5) = 25 — hoàn toàn khác.

Hợp hai hàm

Nếu f(x) = x + 3 và g(x) = x², thì (f ∘ g)(2) bằng bao nhiêu?

Tóm tắt 3 giây

Bên ngoài hàm = dịch chuyển dọc (đúng với trực giác)
Bên trong hàm = dịch chuyển ngang (ngược lại)
Dấu âm bên ngoài → lật qua trục x. Dấu âm bên trong → lật qua trục y.
(f ∘ g)(x) = f(g(x)) — làm từ phải sang trái.

Tự kiểm tra

Kiểm tra nhanh #1

Đồ thị y = (x − 4)² khác đồ thị y = x² như thế nào?

Kiểm tra nhanh #2

Đồ thị y = √x được tịnh tiến xuống 4 đơn vị. Phương trình mới là?