함수의 변환: 이동, 대칭, 확대·축소 — 방정식 하나로 모든 것을 읽는다

기본 함수(부모 함수)를 알면 방정식만 읽고도 어떤 변환된 그래프든 스케치할 수 있습니다. 네 가지 동작 — 수직·수평 이동, 대칭, 확대·축소 — 을 익히면 이차·근호·절댓값 함수를 보자마자 그릴 수 있습니다.

9 분TEKS 2A,2B,2C,2D대수학 2

모든 함수족에는 "부모"가 있습니다

Algebra 2에서는 여섯 가지 부모 함수(parent function)를 도입합니다: 일차·이차·제곱근·삼차·세제곱근·절댓값 함수입니다. 더 복잡한 함수는 모두 이 부모 함수에 이동·대칭·확대·축소를 적용한 결과일 뿐입니다. 방정식만 읽고도 이러한 변환을 알아채면 점 하나 찍지 않고 그래프를 그릴 수 있습니다.

핵심 아이디어

괄호 안(즉 x에 붙는 것): 수평 방향에 영향을 주며 — 직관과 반대입니다. 괄호 밖(즉 y에 붙는 것): 수직 방향에 영향을 주며 — 직관과 일치합니다.

여섯 가지 부모 함수

여섯 개 부모 함수 중 세 가지. 세제곱근·삼차·절댓값 함수도 같은 논리로 다만 모양만 다릅니다.

일차함수: f(x) = x: 원점을 지나는 직선, 기울기 1.
이차함수: f(x) = x²: U자 형태로 위로 열리는 포물선, 꼭짓점은 원점.
제곱근 함수: f(x) = √x: 원점에서 시작하는 절반 곡선, x ≥ 0 에서만 정의됨.
삼차함수: f(x) = x³: 원점을 지나는 S자 형태; 양 끝이 서로 반대 방향으로 뻗음.
세제곱근 함수: f(x) = ∛x: 원점을 지나는 옆으로 누운 S자; 모든 실수 x에서 정의됨.
절댓값 함수: f(x) = |x|: V자 형태로 원점이 꼭짓점, 위로 열림.

네 가지 변환

g(x) = a · f(b(x − h)) + kh는 수평 이동 (h > 0이면 오른쪽)k는 수직 이동 (k > 0이면 위쪽)a는 수직 확대·축소·대칭 (음수 = x축 대칭)b는 수평 확대·축소·대칭 (음수 = y축 대칭)

괄호 안은 방향이 반대입니다

(x − 3)은 그래프를 오른쪽으로 3만큼 이동시키지, 왼쪽이 아닙니다. 마이너스 부호는 이미 공식 안에 들어 있습니다. (x + 3)도 마찬가지 — 이는 h = −3을 뜻하므로 그래프는 왼쪽으로 3만큼 이동합니다.

예제: 이동

f(x) = x²의 그래프를 오른쪽으로 3, 아래로 4만큼 이동시킵니다. 새로운 식을 구하세요.

오른쪽 3 → x를 (x − 3)으로 대체아래 4 → 함수 전체에서 4를 뺌g(x) = (x − 3)² − 4

두 가지 이동 적용

f(x) = x²의 그래프를 오른쪽 3, 아래 4만큼 이동시킵니다. 새로운 식은:

대칭(반사)

y = −f(x): x축 기준 대칭y = f(−x): y축 기준 대칭출력(OUTPUT)에 음수 → 상하 대칭. 입력(INPUT)에 음수 → 좌우 대칭.

올바른 대칭 식별

다음 중 y = f(x)의 그래프를 x축에 대해 대칭시키는 변환은?

함수의 합성

(f ∘ g)(x)는 "f of g of x" — 먼저 g를 적용하고 그 결과를 f에 넣는다는 뜻입니다.

f(x) = x + 3, g(x) = x²(f ∘ g)(2) = f(g(2)) = f(4) = 7순서가 중요합니다: (g ∘ f)(2) = g(f(2)) = g(5) = 25 — 결과가 다릅니다.

두 함수 합성

f(x) = x + 3, g(x) = x²일 때 (f ∘ g)(2) = ?

3초 요약

함수 바깥 = 수직 이동 (직관과 일치)
함수 안 = 수평 이동 (반대 방향)
바깥에 음수 → x축 대칭. 안에 음수 → y축 대칭.
(f ∘ g)(x) = f(g(x)) — 오른쪽에서 왼쪽으로 작업합니다.

스스로 점검

빠른 점검 #1

y = (x − 4)²의 그래프는 y = x²에 비해 어떻게 다른가요?

빠른 점검 #2

y = √x의 그래프를 아래로 4만큼 이동시킬 때 새로운 식은?