Hàm ngược: Cách đảo ngược một quy tắc
Hàm ngược "gỡ ngược" hàm gốc. Hoán đổi x với y, rồi giải theo y — kỹ thuật chỉ có vậy. Ngoài ra còn ý nghĩa hình học (đối xứng qua đường thẳng y = x) và bài kiểm tra đường thẳng ngang để biết hàm có ngược được hay không.
Hàm ngược "gỡ ngược" hàm gốc
Nếu hàm f gửi 3 → 7, thì hàm ngược f⁻¹ gửi 7 → 3. Dù f áp dụng quy tắc gì, f⁻¹ cũng gỡ ngược quy tắc đó theo từng bước. Phép hợp trả về đầu vào ban đầu: f⁻¹(f(x)) = x.
Hàm ngược tráo vai trò của đầu vào và đầu ra. Về đại số: hoán đổi x với y, rồi giải theo y. Về hình học: đối xứng qua đường thẳng y = x.
Phương pháp "hoán đổi rồi giải"
Đồ thị: đối xứng qua y = x
Phép kiểm tra đường thẳng ngang
Để hàm ngược cũng là một hàm số, hàm gốc phải vượt qua phép kiểm tra đường thẳng ngang: không đường thẳng ngang nào cắt đồ thị quá một điểm. Những hàm không đạt (như y = x²) cần được giới hạn miền xác định trước khi tìm hàm ngược.
Ví dụ: giới hạn miền của hàm bậc hai
f(x) = x² trên toàn bộ số thực không vượt qua phép kiểm tra đường ngang (y = 4 cắt đồ thị hai lần). Nhưng nếu giới hạn x ≥ 0, hàm ngược là f⁻¹(x) = √x.
√4 = 2 (chỉ căn dương) — đó là lý do hàm ngược của x² (với miền x ≥ 0) là √x, không phải ±√x. Các nhà toán học chọn nhánh dương làm hàm ngược chính (principal inverse).
Tóm tắt 3 giây
- f(f⁻¹(x)) = x và f⁻¹(f(x)) = x — hai hàm gỡ ngược nhau.
- Cách tìm: hoán đổi x và y, rồi giải theo y.
- Cách vẽ: đối xứng qua y = x.
- Nếu không qua phép kiểm tra đường ngang → phải giới hạn miền trước.