역함수: 규칙을 되돌리는 방법
역함수는 원래 함수를 되돌립니다. x와 y를 서로 바꾼 뒤 y에 대해 풉니다 — 이것이 전부입니다. 여기에 기하학적 의미(직선 y = x 대칭)와 역함수 존재 여부를 판정하는 수평선 판정법(horizontal-line test)까지 익힙니다.
역함수는 원래 함수를 되돌립니다
어떤 함수 f가 3 → 7로 보낸다면, 역함수 f⁻¹은 7 → 3으로 되돌립니다. f가 어떤 규칙을 적용하든 f⁻¹은 이를 단계별로 역방향으로 실행합니다. 두 함수의 합성은 원래 입력으로 돌아옵니다: f⁻¹(f(x)) = x.
핵심 아이디어
역함수는 입력과 출력의 역할을 서로 바꿉니다. 대수적으로: x와 y를 서로 바꾼 뒤 y에 대해 풉니다. 기하학적으로: 직선 y = x에 대해 대칭시킵니다.
"바꾸고 풀기" 방법
f(x) = 2x + 1y = 2x + 1 (y = … 형태로 다시 씀)x = 2y + 1 (x와 y를 서로 바꿈)x − 1 = 2y (y를 분리)y = (x − 1) / 2f⁻¹(x) = (x − 1) / 2
역함수 구하기
f(x) = 2x + 1일 때 역함수 f⁻¹(x)는?
x와 y를 바꿈: x = 2y + 1. y에 대해 풀면 y = (x − 1)/2. 따라서 f⁻¹(x) = (x − 1)/2.
그래프: y = x에 대한 대칭
수평선 판정법(horizontal-line test)
모든 함수가 역함수를 가지는 것은 아닙니다
역함수가 함수가 되려면 원함수는 수평선 판정법을 통과해야 합니다: 어떤 수평선도 그래프를 한 번 초과해서 만나지 않아야 합니다. 이를 통과하지 못하는 함수(예: y = x²)는 정의역을 제한한 뒤에야 역함수를 구할 수 있습니다.
예제: 이차함수의 정의역 제한
모든 실수에서의 f(x) = x²은 수평선 판정법을 통과하지 못합니다(y = 4가 두 번 만남). 하지만 정의역을 x ≥ 0으로 제한하면 역함수는 f⁻¹(x) = √x입니다.
√x가 "절반"짜리 역함수인 이유
√4 = 2 (양의 제곱근만) — 이 때문에 x²의 역함수(x ≥ 0으로 제한)는 √x이지 ±√x가 아닙니다. 수학자들은 양의 가지를 주역함수(principal inverse)로 정했습니다.
3초 요약
- f(f⁻¹(x)) = x와 f⁻¹(f(x)) = x — 서로를 되돌립니다.
- 구하는 법: x와 y를 바꾸고 y에 대해 풀기.
- 그리는 법: y = x에 대해 대칭.
- 수평선 판정법 실패 → 정의역을 먼저 제한해야 합니다.
스스로 점검
빠른 점검 #1
f(x) = 2x − 6의 역함수를 구하세요.
역함수를 구하려면 x와 y를 바꾼 뒤 y에 대해 풉니다. y = 2x − 6 → x = 2y − 6 → x + 6 = 2y → y = (x + 6)/2. 따라서 f⁻¹(x) = (x + 6)/2.
빠른 점검 #2
함수가 역함수를 갖기 위해서는 어떤 성질을 가져야 하나요(그 역함수도 함수여야 함)?
함수의 역이 함수가 되려면 그 함수는 일대일이어야 합니다 — 각 y값에 정확히 하나의 x값이 대응해야 합니다. 수평선 판정법이 이를 확인해줍니다.