Funciones inversas: cómo revertir una regla
Una función inversa deshace la original. Intercambia x e y, despeja y — esa es toda la técnica. Además el significado geométrico (reflexión respecto a y = x) y la prueba de la recta horizontal para saber si existe la inversa.
Una inversa deshace la original
Si una función f envía 3 → 7, la inversa f⁻¹ envía 7 → 3. Cualquiera que sea la regla que aplica f, f⁻¹ la revierte paso a paso. La composición devuelve la entrada original: f⁻¹(f(x)) = x.
La inversa intercambia los roles de entrada y salida. Algebraicamente: intercambia x e y, y luego despeja y. Gráficamente: refleja respecto a la recta y = x.
El método de "intercambiar y despejar"
El gráfico: reflejar respecto a y = x
La prueba de la recta horizontal
Para que la inversa también sea una función, la original debe superar la prueba de la recta horizontal: ninguna recta horizontal cruza el gráfico más de una vez. Las funciones que fallan (como y = x²) necesitan que se restrinja su dominio antes de invertirlas.
Ejemplo: restringir una función cuadrática
f(x) = x² sobre todos los reales falla la prueba de la recta horizontal (y = 4 corta dos veces). Pero si restringimos a x ≥ 0, la inversa es f⁻¹(x) = √x.
√4 = 2 (solo la raíz positiva) — por eso la inversa de x² (restringida a x ≥ 0) es √x, no ±√x. Los matemáticos eligieron la rama positiva como inversa principal.
Repaso en 3 segundos
- f(f⁻¹(x)) = x y f⁻¹(f(x)) = x — se deshacen mutuamente.
- Para hallarla: intercambia x e y, y despeja y.
- Para graficarla: refleja respecto a y = x.
- Si falla la prueba de la recta horizontal → primero restringe el dominio.