Funciones logarítmicas: la inversa de la exponencial

Un logaritmo pregunta "¿qué exponente?". Domina la definición, las tres propiedades (producto/cociente/potencia) y resolverás ecuaciones exponenciales de cualquier base.

9 minTEKS 5A,5B,5CÁlgebra 2

Un log responde una única pregunta: "¿qué exponente?"

log_b(x) pregunta: "¿a qué potencia debo elevar b para obtener x?" Eso es todo. Una vez interiorizas esta pregunta, todo problema con logaritmos se convierte en un ejercicio de traducción.

log_b(x) = y ⟺ b^y = xUna ecuación logarítmica y una ecuación exponencial dicen lo mismo de dos formas distintas.

Leer logs con naturalidad

log₂(8) = 3 (2 elevado a qué = 8? Respuesta: 3)log₁₀(1000) = 3 (10 al cubo = 1000)log₂(32) = 5 (2⁵ = 32)ln(e²) = 2 (ln significa log en base e)

Lee un log directamente

Evalúa el logaritmo log₂(32) (base 2).

Las tres propiedades

Producto: log(ab) = log(a) + log(b)Cociente: log(a/b) = log(a) − log(b)Potencia: log(aⁿ) = n · log(a)Las tres convierten multiplicación/división/exponentes en suma/resta/multiplicación. Ésa es la magia de los logs.

Combinar logs

log(8) + log(125)= log(8 · 125)= log(1000)= 3 (suponiendo base 10)

Combina usando la propiedad del producto

Usa las propiedades de los logaritmos para simplificar: log(8) + log(125).

Fórmula de cambio de base

La mayoría de las calculadoras solo traen log₁₀ (simplemente "log") y ln (log en base e). Para calcular log₃(20), usa:

log_b(x) = log(x) / log(b) = ln(x) / ln(b)log₃(20) = log(20) / log(3) ≈ 1.301 / 0.477 ≈ 2.727

Logs y exponenciales son inversos

El truco de "deshacer"

Para resolver b^x = y, toma log_b en ambos lados: x = log_b(y). Para resolver log_b(x) = y, eleva b a ambos lados: x = b^y.

Comprueba el dominio

log_b(x) solo está definido para x > 0. Después de resolver una ecuación logarítmica, verifica siempre que tu respuesta haga el argumento original positivo — de lo contrario, es una solución extraña.

Repaso en 3 segundos

log_b(x) = y significa b^y = x.
Tres propiedades: producto → suma, cociente → diferencia, potencia → multiplicador.
Cambio de base: log_b(x) = log(x)/log(b).
Los logs y las exponenciales se cancelan entre sí.

Compruébate

Comprobación rápida #1

Evalúa log₂(8).

Comprobación rápida #2

Resuelve para x: log(x) = 2 (asume base 10).