🎯Lock in $19.99 pricing before September 1, 2026· Save $10 on every full-credit subject through August. Pricing returns to $29.99 on Sept 1.· Ends Aug 31, 2026
Funciones polinómicas: comportamiento en los extremos, raíces y el teorema de la raíz racional
El teorema fundamental del álgebra garantiza que un polinomio de grado n tiene n raíces. Domina el teorema de la raíz racional y las reglas de comportamiento en los extremos, y factorizarás polinomios demasiado grandes para el tanteo puro.
10 minTEKS 7A,7C,7D,7E,7F,7IÁlgebra 2
Grados mayores, misma lógica
En Álgebra 1 factorizabas ecuaciones cuadráticas. Álgebra 2 te lleva hasta grado 5 y más. El teorema fundamental del álgebra dice que cualquier polinomio de grado n tiene exactamente n raíces (contando multiplicidad, incluidas las complejas).
El comportamiento en los extremos depende del grado y del coeficiente principal
Grado par, coeficiente principal positivo: ambos extremos → +∞Grado par, coeficiente principal negativo: ambos extremos → −∞Grado impar, coeficiente principal positivo: izquierda → −∞, derecha → +∞Grado impar, coeficiente principal negativo: izquierda → +∞, derecha → −∞
Cuatro formas de comportamiento en los extremos. El signo del coeficiente principal invierte el extremo derecho; la paridad del grado decide si ambos extremos coinciden.
Identifica el comportamiento en los extremos
¿Cuál es el comportamiento en los extremos de f(x) = −2x⁴ + 3x² + 5?
Grado par (4) con coeficiente principal negativo (−2): ambos extremos bajan a −∞.
Un polinomio de grado n tiene hasta n raíces reales
Teorema fundamental del álgebra
Un polinomio de grado n tiene exactamente n raíces (reales + complejas, contando multiplicidad). Como máximo, n de ellas pueden ser reales.
Máximo número de raíces reales
Un polinomio tiene grado 5. ¿Cuál es el número máximo de raíces reales que puede tener?
Un polinomio de grado n tiene como máximo n raíces reales (teorema fundamental: exactamente n raíces contando complejas y multiplicidad).
El teorema de la raíz racional
Para un polinomio con coeficientes enteros, cada raíz racional tiene la forma ±(factor del término constante)/(factor del coeficiente principal).
x³ − 4x² + x + 6 = 0Constante = 6 → factores ±1, ±2, ±3, ±6Coeficiente principal = 1 → factores ±1Posibles raíces racionales: ±1, ±2, ±3, ±6Prueba estos valores uno a uno (con división sintética). En cuanto encuentres una raíz, divide y reduce a una cuadrática.
Enumera los candidatos
Según el teorema de la raíz racional, las posibles raíces racionales de x³ − 4x² + x + 6 = 0 deben provenir de:
Teorema de la raíz racional: los candidatos son ±(factores del término constante) / (factores del coeficiente principal). El constante es 6 y el principal es 1, así que los candidatos son ±1, ±2, ±3, ±6.
División sintética (el factor de velocidad)
La división sintética es una forma abreviada de dividir un polinomio entre (x − r). Si el resto es 0, entonces r es una raíz y el cociente es el factor que buscas.
Divide x³ − 4x² + x + 6 entre (x − 3):Coeficientes: [1, −4, 1, 6], divisor 3Baja el 1; 1·3 = 3 → −4 + 3 = −1−1·3 = −3 → 1 + (−3) = −2−2·3 = −6 → 6 + (−6) = 0(resto = 0, así que 3 SÍ es una raíz)Cociente: x² − x − 2 = (x − 2)(x + 1)Todas las raíces: x = 3, 2, −1
Repaso en 3 segundos
Grado n → como máximo n raíces reales; exactamente n en total (contando complejas).
Comportamiento en los extremos: par/impar × +/− da 4 casos.
Teorema de la raíz racional: candidatos = ±(factores del constante)/(factores del principal).
División sintética: más rápida que la larga; resto 0 significa que encontraste una raíz.
Compruébate
Comprobación rápida #1
¿Cuál es el comportamiento en los extremos de f(x) = −2x³ + 5?
Para polinomios de grado impar con coeficiente principal NEGATIVO, la gráfica sube por la izquierda y baja por la derecha. Entonces: ↘ a la derecha, ↗ a la izquierda.