다항함수: 극한 거동, 근, 그리고 유리근 정리

대수학의 기본정리는 차수 n인 다항식이 n개의 근을 가짐을 보장합니다. 유리근 정리와 극한(끝) 거동 규칙을 익히면 단순 시행착오로는 불가능한 큰 차수의 다항식도 인수분해할 수 있습니다.

10 분TEKS 7A,7C,7D,7E,7F,7I대수학 2

차수는 커져도, 논리는 같습니다

Algebra 1에서는 이차식을 인수분해했습니다. Algebra 2에서는 5차, 그 이상까지 다룹니다. 대수학의 기본정리(Fundamental Theorem of Algebra)에 따르면, 차수 n인 다항식은 (복소근과 중복도를 모두 세었을 때) 정확히 n개의 근을 가집니다.

극한 거동은 차수와 최고차항 계수의 부호로 결정됩니다

짝수 차수, 최고차항 계수 양수: 양쪽 끝 → +∞짝수 차수, 최고차항 계수 음수: 양쪽 끝 → −∞홀수 차수, 최고차항 계수 양수: 왼쪽 → −∞, 오른쪽 → +∞홀수 차수, 최고차항 계수 음수: 왼쪽 → +∞, 오른쪽 → −∞

네 가지 끝 거동 모양. 최고차항 계수의 부호가 오른쪽 끝을 뒤집고, 차수의 홀짝은 양쪽 끝이 같은 방향인지 여부를 결정합니다.

극한 거동 판별

f(x) = −2x⁴ + 3x² + 5의 끝 거동은?

차수 n인 다항식은 최대 n개의 실근을 가집니다

대수학의 기본정리

차수 n인 다항식은 정확히 n개의 근(실근 + 복소근, 중복도 포함)을 가집니다. 그중 실근은 최대 n개입니다.

최대 실근의 개수

어떤 다항식의 차수가 5이다. 가질 수 있는 실근의 최대 개수는?

유리근 정리 (Rational Root Theorem)

정수 계수 다항식의 모든 유리근은 ±(상수항의 약수)/(최고차항 계수의 약수) 형태입니다.

x³ − 4x² + x + 6 = 0상수항 = 6 → 약수 ±1, ±2, ±3, ±6최고차항 계수 = 1 → 약수 ±1가능한 유리근: ±1, ±2, ±3, ±6이 후보들을 하나씩 조합(합성) 나눗셈으로 시험합니다. 근을 하나 찾으면 나눠서 이차식으로 낮춥니다.

후보 열거

유리근 정리에 따르면 x³ − 4x² + x + 6 = 0의 가능한 유리근은 다음 중 어느 집합에서 나와야 하는가?

조립제법 — 속도를 위한 도구

조립제법은 (x − r)로 다항식을 나누는 간편화된 방법입니다. 나머지가 0이면 r이 근이고, 몫이 우리가 원하던 인수입니다.

x³ − 4x² + x + 6을 (x − 3)으로 나눔:계수: [1, −4, 1, 6], 나눔수 31을 그대로 내림; 1·3 = 3 → −4 + 3 = −1−1·3 = −3 → 1 + (−3) = −2−2·3 = −6 → 6 + (−6) = 0 (나머지 = 0, 즉 3이 근이다)몫: x² − x − 2 = (x − 2)(x + 1)모든 근: x = 3, 2, −1

3초 요약

차수 n → 실근은 최대 n개, 근의 총 개수는 정확히 n개(복소근 포함).
끝 거동: 짝/홀 × +/− 로 4가지 경우.
유리근 정리: 후보 = ±(상수항 약수)/(최고차항 계수 약수).
조립제법: 장제법보다 빠릅니다. 나머지가 0이면 근을 찾은 것입니다.

스스로 점검

빠른 점검 #1

f(x) = −2x³ + 5의 끝 거동은?

빠른 점검 #2

f(x) = (x − 1)(x + 2)(x − 5)의 실근은 몇 개인가?