Hàm số đa thức: dáng điệu ở vô cực, nghiệm và định lý nghiệm hữu tỉ

Định lý cơ bản của đại số bảo đảm rằng một đa thức bậc n có đúng n nghiệm. Nắm vững định lý nghiệm hữu tỉ và các quy tắc về dáng điệu ở vô cực, các em sẽ phân tích được cả những đa thức quá lớn không thể thử-sai bằng tay.

10 phútTEKS 7A,7C,7D,7E,7F,7IĐại số 2

Bậc cao hơn, nhưng vẫn cùng một logic

Ở Algebra 1, các em phân tích tam thức bậc hai. Sang Algebra 2 thì lên tới bậc 5 và cao hơn. Định lý cơ bản của đại số nói rằng: một đa thức bậc n có đúng n nghiệm (đếm cả bội và nghiệm phức).

Dáng điệu ở vô cực phụ thuộc vào bậc và hệ số cao nhất

Bậc chẵn, hệ số cao nhất dương: hai đầu → +∞Bậc chẵn, hệ số cao nhất âm: hai đầu → −∞Bậc lẻ, hệ số cao nhất dương: trái → −∞, phải → +∞Bậc lẻ, hệ số cao nhất âm: trái → +∞, phải → −∞

Bốn dạng dáng điệu ở vô cực. Dấu của hệ số cao nhất đảo chiều đầu bên phải; tính chẵn lẻ của bậc quyết định hai đầu có cùng chiều hay không.

Xác định dáng điệu ở vô cực

Dáng điệu ở vô cực của f(x) = −2x⁴ + 3x² + 5 là gì?

Đa thức bậc n có tối đa n nghiệm thực

Định lý cơ bản của đại số

Đa thức bậc n có đúng n nghiệm (thực + phức, đếm cả bội). Trong đó, tối đa n nghiệm có thể là nghiệm thực.

Số nghiệm thực tối đa

Một đa thức có bậc 5. Số nghiệm thực tối đa mà nó có thể có là bao nhiêu?

Định lý nghiệm hữu tỉ

Với đa thức có hệ số nguyên, mọi nghiệm hữu tỉ đều có dạng ±(ước của hạng tử tự do)/(ước của hệ số cao nhất).

x³ − 4x² + x + 6 = 0Hạng tử tự do = 6 → các ước ±1, ±2, ±3, ±6Hệ số cao nhất = 1 → các ước ±1Các nghiệm hữu tỉ khả dĩ: ±1, ±2, ±3, ±6Thử từng giá trị bằng chia Horner (chia tổng hợp). Khi tìm được một nghiệm, chia đa thức xuống thành tam thức bậc hai.

Liệt kê các ứng viên

Theo định lý nghiệm hữu tỉ, các nghiệm hữu tỉ khả dĩ của x³ − 4x² + x + 6 = 0 phải lấy từ:

Chia Horner (yếu tố tốc độ)

Chia Horner là cách rút gọn phép chia một đa thức cho (x − r). Nếu số dư bằng 0 thì r là nghiệm và thương chính là nhân tử các em cần.

Chia x³ − 4x² + x + 6 cho (x − 3):Các hệ số: [1, −4, 1, 6], số chia 3Hạ 1 xuống; 1·3 = 3 → −4 + 3 = −1−1·3 = −3 → 1 + (−3) = −2−2·3 = −6 → 6 + (−6) = 0 (dư = 0, vậy 3 LÀ một nghiệm)Thương: x² − x − 2 = (x − 2)(x + 1)Tất cả nghiệm: x = 3, 2, −1

Tóm tắt 3 giây

Bậc n → tối đa n nghiệm thực; tổng cộng đúng n nghiệm (kể cả nghiệm phức).
Dáng điệu ở vô cực: chẵn/lẻ × +/− cho 4 trường hợp.
Định lý nghiệm hữu tỉ: ứng viên = ±(ước hạng tử tự do)/(ước hệ số cao nhất).
Chia Horner: nhanh hơn chia dài; số dư 0 nghĩa là các em đã tìm được nghiệm.

Tự kiểm tra

Kiểm tra nhanh #1

Dáng điệu ở vô cực của f(x) = −2x³ + 5 là gì?

Kiểm tra nhanh #2

Hàm f(x) = (x − 1)(x + 2)(x − 5) có bao nhiêu nghiệm thực?