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Dominio de funciones cuadráticas: forma de vértice, completar el cuadrado y el discriminante
Álgebra 1 te presentó las parábolas. Álgebra 2 te vuelve fluido: cambia entre formas, completa el cuadrado mentalmente y lee el discriminante para saber exactamente cuántas raíces reales hay antes de resolver.
10 minTEKS 4A,4B,4C,4D,4FÁlgebra 2
De "conocer la fórmula" a "fluido entre formas"
Álgebra 1 te dio la fórmula cuadrática y una sola forma. Álgebra 2 exige fluidez: forma de vértice para graficar, forma estándar para la fórmula, forma factorizada para las raíces — y la capacidad de cambiar entre ellas en segundos.
Las tres formas
Estándar: f(x) = ax2 + bx + cVértice: f(x) = a(x − h)2 + kFactorizada: f(x) = a(x − r1)(x − r2)Misma parábola, tres perspectivas. Usa la forma que coincida con lo que te preguntan.
¿Qué forma usar en cada caso?
¿Necesitas el vértice? → forma de vértice. ¿Las raíces? → forma factorizada. ¿Aplicar la fórmula cuadrática? → forma estándar.
Leer el vértice desde la forma de vértice
f(x) = 2(x − 3)2 + 5Forma de vértice a(x − h)2 + k → vértice (h, k)Vértice: (3, 5)
Lee el vértice
Halla el vértice de f(x) = 2(x − 3)² + 5.
La forma de vértice es f(x) = a(x − h)² + k con vértice (h, k). Aquí h = 3, k = 5, así que el vértice es (3, 5).
Completar el cuadrado
Objetivo: convertir la forma estándar a forma de vértice. El truco es tomar la mitad de b, elevarla al cuadrado y sumar (¡y restar!) ese valor dentro.
x2 + 6x + 5 = 0x2 + 6x = −5 (pasa c al segundo miembro)x2 + 6x + 9 = −5 + 9 (suma (b/2)² = 9 a ambos lados)(x + 3)2 = 4x + 3 = ±2x = −1 o x = −5
x² + 6x = −5 → x² + 6x + 9 = 4 → (x + 3)² = 4 → x + 3 = ±2 → x = −1 o x = −5.
El discriminante te dice cuántas raíces hay
Discriminante = b2 − 4acPositivo: dos raíces reales distintas (la parábola cruza el eje x dos veces)Cero: una raíz real repetida (la parábola apenas toca el eje x)Negativo: ninguna raíz real — dos raíces complejas (la parábola no toca el eje x)
Calcula el discriminante
El discriminante de x² + 4x + 5 = 0 es:
Discriminante = b² − 4ac = 16 − 20 = −4. Como es negativo, la ecuación tiene dos raíces complejas (no reales).
Aplicación real: movimiento de un proyectil
Se lanza una pelota hacia arriba con la ecuación de altura h(t) = −16t² + 64t + 5 (altura en pies, t en segundos). La altura máxima está en el vértice.
Completando el cuadrado: x² + 6x = (x + 3)² − 9. Así que y = (x + 3)² − 9 + 5 = (x + 3)² − 4. Vértice: (−3, −4).
Comprobación rápida #2
¿Cuántas soluciones reales tiene x² + 4x + 5 = 0?
Discriminante b² − 4ac = 16 − 20 = −4. Un discriminante negativo significa que no hay soluciones reales — la parábola nunca cruza el eje x. (Hay 2 soluciones complejas.)