이차함수 마스터: 꼭짓점 형태, 완전제곱식 만들기, 판별식
Algebra 1은 포물선을 소개했습니다. Algebra 2는 능숙함을 요구합니다: 세 가지 형태를 자유롭게 오가고, 완전제곱식을 머릿속으로 만들며, 판별식을 읽어 풀기 전에 실근의 개수를 정확히 알아냅니다.
"공식 아는 수준"에서 "형태 간 자유자재"로
Algebra 1은 근의 공식과 한 가지 형태를 알려주었습니다. Algebra 2는 능숙함을 요구합니다: 그래프에는 꼭짓점 형태, 공식 적용에는 표준형, 근을 구할 때는 인수분해형 — 그리고 이 세 형태를 몇 초 안에 오갈 수 있는 능력을 요구합니다.
세 가지 형태
표준형: f(x) = ax2 + bx + c꼭짓점 형태: f(x) = a(x − h)2 + k인수분해형: f(x) = a(x − r1)(x − r2)같은 포물선을 세 가지 관점에서 본 것입니다. 질문에 맞는 형태를 골라 씁니다.
언제 어떤 형태?
꼭짓점이 필요? → 꼭짓점 형태. 근이 필요? → 인수분해형. 근의 공식에 대입? → 표준형.
꼭짓점 형태에서 꼭짓점 읽기
f(x) = 2(x − 3)2 + 5꼭짓점 형태 a(x − h)2 + k → 꼭짓점 (h, k)꼭짓점: (3, 5)
꼭짓점 읽기
f(x) = 2(x − 3)² + 5의 꼭짓점을 구하세요.
꼭짓점 형태는 f(x) = a(x − h)² + k이고 꼭짓점은 (h, k)입니다. 여기서 h = 3, k = 5이므로 꼭짓점은 (3, 5)입니다.
완전제곱식 만들기
목표: 표준형을 꼭짓점 형태로 바꾸는 것. 핵심 기법은 b의 절반을 제곱해서 그 값을 더하고(그리고 빼는) 것입니다.
x2 + 6x + 5 = 0x2 + 6x = −5 (c를 우변으로)x2 + 6x + 9 = −5 + 9 (양변에 (b/2)² = 9를 더함)(x + 3)2 = 4x + 3 = ±2x = −1 또는 x = −5
완전제곱식 풀이
완전제곱식으로 풀어보세요: x² + 6x + 5 = 0.
x² + 6x = −5 → x² + 6x + 9 = 4 → (x + 3)² = 4 → x + 3 = ±2 → x = −1 또는 x = −5.
판별식은 근의 개수를 알려줍니다
판별식 = b2 − 4ac양수: 서로 다른 두 실근 (포물선이 x축을 두 번 자른다)0: 하나의 중근 (포물선이 x축에 접한다)음수: 실근 없음 — 두 허근(포물선이 x축과 만나지 않는다)
판별식 계산
x² + 4x + 5 = 0의 판별식은:
판별식 = b² − 4ac = 16 − 20 = −4. 음수이므로 방정식은 두 개의 허근(실수가 아닌 근)을 갖습니다.
실생활 응용: 포물선 운동
공을 위로 던질 때 높이 방정식이 h(t) = −16t² + 64t + 5입니다(높이는 피트, t는 초). 최대 높이는 꼭짓점에서 나타납니다.
tmax = −b / (2a) = −64 / (−32) = 2초h(2) = −64 + 128 + 5 = 69피트
최대 높이
h(t) = −16t² + 64t + 5로 공을 던집니다(h는 피트, t는 초). 최대 높이는?
꼭짓점 t = −b/(2a) = −64/(−32) = 2. h(2) = −64 + 128 + 5 = 69피트.
3초 요약
- 세 형태: 표준형, 꼭짓점 형태, 인수분해형. 질문에 맞춰 고르세요.
- 표준형에서 꼭짓점: x = −b / (2a).
- 완전제곱식: (b/2)2을 양변에 더합니다.
- 판별식 b2−4ac: + → 실근 2개, 0 → 중근, − → 허근 2개.
스스로 점검
빠른 점검 #1
y = x² + 6x + 5를 꼭짓점 형태로 바꾸세요.
완전제곱식: x² + 6x = (x + 3)² − 9. 따라서 y = (x + 3)² − 9 + 5 = (x + 3)² − 4. 꼭짓점: (−3, −4).
빠른 점검 #2
x² + 4x + 5 = 0의 실근은 몇 개인가요?
판별식 b² − 4ac = 16 − 20 = −4. 판별식이 음수이므로 실근이 없습니다 — 포물선이 x축을 자르지 않습니다. (허근 2개를 갖습니다.)