Funciones racionales: asíntotas, huecos y las entradas prohibidas

Una función racional es una fracción de polinomios. Domina las asíntotas verticales y horizontales, de dónde salen y la diferencia entre asíntota y hueco.

8 minTEKS 6M,6N,6OÁlgebra 2

Funciones con entradas prohibidas

Una función racional es un polinomio dividido entre otro. Donde el denominador vale cero, la función está indefinida — y ahí aparece una asíntota vertical o un hueco. Leer estas características directamente de la ecuación es todo el juego.

Asíntotas verticales

f(x) = 1 / (x − 2)Denominador cero en x = 2 → asíntota vertical x = 2La función se dispara a ±∞ a medida que x se acerca a 2.

Asíntota vertical donde el denominador es cero. La gráfica nunca toca la línea discontinua.

Halla la asíntota vertical

¿Cuál es la asíntota vertical de f(x) = 1 / (x − 2)?

Asíntotas horizontales

Lo que ocurre cuando x tiende a ±∞ depende de los grados del numerador y del denominador.

grado(num) < grado(den): y = 0grado(num) = grado(den): y = cociente de los coeficientes principalesgrado(num) > grado(den): no hay asíntota horizontal (oblicua o ninguna)

Ejemplo

f(x) = (2x + 1) / (x − 4)Ambos de grado 1; cociente de los coeficientes principales = 2/1Asíntota horizontal: y = 2

Halla la asíntota horizontal

Para f(x) = (2x + 1) / (x − 4), ¿cuál es la asíntota horizontal?

Huecos frente a asíntotas

Si un factor se cancela entre numerador y denominador, obtienes un hueco, no una asíntota. La función tiene la misma forma que la expresión simplificada, salvo por ese único punto que falta.

f(x) = (x² − 9) / (x + 3)= (x − 3)(x + 3) / (x + 3) (factoriza)= x − 3 (cancela, pero x ≠ −3)Gráfica de x − 3 (una recta) con un hueco en x = −3.

Simplifica e identifica el hueco

Simplifica por completo la expresión racional (x² − 9) / (x + 3).

Repaso en 3 segundos

Asíntota vertical: denominador cero (y numerador no cero) en ese x.
Hueco: un factor se cancela — misma x, pero sin asíntota.
Asíntota horizontal: compara grados; iguales → cociente de coeficientes principales.
Verifica siempre el dominio original — los factores cancelados siguen excluyendo sus ceros.

Compruébate

Comprobación rápida #1

¿Cuál es la asíntota vertical de f(x) = 1/(x − 3)?

Comprobación rápida #2

¿Qué valor de x está PROHIBIDO en f(x) = (x + 2)/(x − 5)?