Hàm số hữu tỉ: tiệm cận, điểm lỗ và những giá trị bị cấm

Hàm số hữu tỉ là thương của hai đa thức. Nắm vững tiệm cận đứng và ngang, chúng đến từ đâu, và phân biệt tiệm cận với điểm lỗ (hole).

8 phútTEKS 6M,6N,6OĐại số 2

Những hàm có "giá trị bị cấm"

Hàm số hữu tỉ là thương của hai đa thức. Ở những nơi mẫu số bằng 0, hàm số không xác định — và tại đó xuất hiện tiệm cận đứng hoặc điểm lỗ (hole). Đọc được các đặc trưng này ngay từ biểu thức chính là toàn bộ trò chơi của chuyên đề.

Tiệm cận đứng

f(x) = 1 / (x − 2)Mẫu bằng 0 tại x = 2 → tiệm cận đứng x = 2Hàm số tiến đến ±∞ khi x tiến đến 2.

Tiệm cận đứng nằm tại nơi mẫu số bằng 0. Đồ thị không bao giờ chạm vào đường nét đứt.

Tìm tiệm cận đứng

Tiệm cận đứng của f(x) = 1 / (x − 2) là gì?

Tiệm cận ngang

Điều xảy ra khi x tiến đến ±∞ phụ thuộc vào bậc của tử và mẫu.

bậc(tử) < bậc(mẫu): y = 0bậc(tử) = bậc(mẫu): y = tỉ số hệ số cao nhấtbậc(tử) > bậc(mẫu): không có tiệm cận ngang (có thể có tiệm cận xiên hoặc không)

Ví dụ

f(x) = (2x + 1) / (x − 4)Cả hai đều bậc 1; tỉ số hệ số cao nhất = 2/1Tiệm cận ngang: y = 2

Tìm tiệm cận ngang

Với f(x) = (2x + 1) / (x − 4), tiệm cận ngang là gì?

Điểm lỗ so với tiệm cận

Nếu một nhân tử bị rút gọn giữa tử và mẫu, các em nhận được điểm lỗ (hole), không phải tiệm cận. Đồ thị có dạng giống biểu thức đã rút gọn, chỉ khuyết đúng một điểm.

f(x) = (x² − 9) / (x + 3)= (x − 3)(x + 3) / (x + 3) (phân tích)= x − 3 (rút gọn, nhưng x ≠ −3)Đồ thị của x − 3 (một đường thẳng) có điểm lỗ tại x = −3.

Rút gọn và xác định điểm lỗ

Rút gọn triệt để biểu thức hữu tỉ (x² − 9) / (x + 3).

Tóm tắt 3 giây

Tiệm cận đứng: tại x đó mẫu bằng 0 (và tử khác 0).
Điểm lỗ: có nhân tử bị rút gọn — cùng giá trị x nhưng không có tiệm cận.
Tiệm cận ngang: so bậc; bậc bằng nhau → tỉ số hệ số cao nhất.
Luôn kiểm tra tập xác định gốc — nhân tử bị rút gọn vẫn loại trừ nghiệm của nó.

Tự kiểm tra

Kiểm tra nhanh #1

Tiệm cận đứng của f(x) = 1/(x − 3) là gì?

Kiểm tra nhanh #2

Giá trị x nào bị CẤM trong f(x) = (x + 2)/(x − 5)?