유리함수: 점근선, 구멍, 그리고 금지된 입력값
유리함수는 다항식을 다항식으로 나눈 분수입니다. 수직·수평 점근선이 어디에서 오는지, 그리고 점근선과 구멍(hole)의 차이를 익힙니다.
"넣으면 안 되는 값"이 있는 함수
유리함수는 한 다항식을 다른 다항식으로 나눈 것입니다. 분모가 0이 되는 곳에서는 함수가 정의되지 않으며, 그 지점은 수직 점근선이거나 구멍(hole)이 됩니다. 식만 보고 이 특징들을 읽어내는 것이 이 단원의 전부라고 할 수 있습니다.
수직 점근선
f(x) = 1 / (x − 2)분모가 0이 되는 곳: x = 2 → 수직 점근선 x = 2x가 2에 가까워질수록 함숫값은 ±∞로 발산합니다.
수직 점근선 찾기
f(x) = 1 / (x − 2)의 수직 점근선은?
수직 점근선은 분모가 0이 되는 곳에서 생깁니다: x − 2 = 0에서 x = 2.
수평 점근선
x가 ±∞로 갈 때 어떤 일이 일어나는가는 분자와 분모의 차수(degree)에 달려 있습니다.
분자 차수 < 분모 차수: y = 0분자 차수 = 분모 차수: y = 최고차항 계수의 비분자 차수 > 분모 차수: 수평 점근선 없음 (사선 점근선이거나 아예 없음)
예시
f(x) = (2x + 1) / (x − 4)둘 다 차수 1; 최고차항 계수의 비 = 2/1수평 점근선: y = 2
수평 점근선 찾기
f(x) = (2x + 1) / (x − 4)의 수평 점근선은?
분자와 분모의 차수가 같을 때는 수평 점근선 = 최고차항 계수의 비 = 2/1 = 2.
구멍 vs 점근선
분자와 분모에서 한 인수가 서로 소거되면, 그 자리는 점근선이 아니라 구멍(hole)이 됩니다. 함수의 모양은 간단해진 식과 같고, 다만 한 점만 빠져 있을 뿐입니다.
f(x) = (x² − 9) / (x + 3)= (x − 3)(x + 3) / (x + 3) (인수분해)= x − 3 (약분, 단 x ≠ −3)x − 3(직선)의 그래프이지만 x = −3에 구멍이 뚫려 있습니다.
간단히 하고 구멍 위치 찾기
유리식 (x² − 9) / (x + 3)을 가능한 한 간단히 하시오.
분자를 인수분해: (x − 3)(x + 3). (x + 3)을 약분하면 x − 3 (단, x ≠ −3에 구멍).
3초 요약
- 수직 점근선: 그 x에서 분모가 0(분자는 0이 아님).
- 구멍: 인수가 소거됨 — 같은 x이지만 점근선은 아님.
- 수평 점근선: 차수를 비교; 같으면 → 최고차항 계수의 비.
- 항상 원래 정의역을 확인 — 약분된 인수의 영점도 여전히 제외됩니다.
스스로 점검
빠른 점검 #1
f(x) = 1/(x − 3)의 수직 점근선은?
수직 점근선은 분모가 0이 되는 곳에 생깁니다(분자가 0이 아닐 때). x − 3 = 0 → x = 3.
빠른 점검 #2
f(x) = (x + 2)/(x − 5)에서 대입이 금지된 x의 값은?
분모가 0이 되면 안 됩니다(0으로 나눌 수 없기 때문). x − 5 ≠ 0 → x ≠ 5.