Sucesiones, series y secciones cónicas
Algebra 1 introdujo las sucesiones aritméticas y geométricas. Algebra 2 las suma con fórmulas cerradas y añade las cuatro secciones cónicas — circle, ellipse, parabola, hyperbola — reconocidas a simple vista desde la ecuación.
Sumas y formas
Esta lección combina dos grandes temas — sumas de series (comprimir una suma infinita en una fórmula) y secciones cónicas (reconocer una curva a partir de su ecuación). Ambos premian el reconocimiento de patrones.
Serie aritmética
Sn = n(a1 + an) / 2n = número de términos, a1 = primer término, an = último términoPromedio del primer y el último término, multiplicado por la cantidad. (Emparéjalos.)
Ejemplo
2 + 5 + 8 + ... + 32 (diferencia común 3)n = (32 − 2)/3 + 1 = 11 términosSum = 11 · (2 + 32) / 2 = 11 · 17 = 187
Suma una serie aritmética
Halla la suma de la serie aritmética 2 + 5 + 8 + ... + 32.
a₁ = 2, d = 3, último término aₙ = 32. n = (32 − 2)/3 + 1 = 11. Sum = n(a₁ + aₙ)/2 = 11 · 34 / 2 = 187.
Serie geométrica
Sn = a1(rn − 1) / (r − 1) (r ≠ 1)Serie infinita (|r| < 1): S∞ = a1 / (1 − r)Las sumas infinitas convergen solo cuando el valor absoluto de la razón común es menor que 1.
Suma una serie geométrica
Para la serie geométrica 3 + 6 + 12 + ... + 192, ¿cuál es la suma?
a₁ = 3, r = 2. 192 = 3 · 2ⁿ⁻¹ → 2ⁿ⁻¹ = 64 → n = 7. Sum = a₁(rⁿ − 1)/(r − 1) = 3(128 − 1)/1 = 381.
Las cuatro secciones cónicas
Lista de reconocimiento
- x² + y² = r²: circle (radio r)
- x²/a² + y²/b² = 1: ellipse
- x²/a² − y²/b² = 1: hyperbola (fíjate en el signo menos)
- y = ax² + bx + c: parabola (solo una variable al cuadrado)
Identifica un círculo por su ecuación
La ecuación x² + y² = 25 representa:
x² + y² = r² es un círculo centrado en el origen. Aquí r² = 25, así que r = 5.
Forma estándar de una elipse
¿Cuál es la forma estándar de una elipse centrada en el origen con eje mayor horizontal?
Elipse centrada en el origen: x²/a² + y²/b² = 1. El eje mayor es horizontal cuando a > b (a está debajo de x²).
Repaso de 3 segundos
- Suma aritmética: n(a1 + an)/2 — empareja los extremos.
- Suma geométrica: a1(rn − 1)/(r − 1). Infinita si |r| < 1: a1/(1 − r).
- Cónicas: + elipse/círculo, − hipérbola, un solo término al cuadrado parábola.
- Lee primero la forma de la ecuación; luego elige las fórmulas.
Comprueba tú mismo
Quick check #1
Halla la suma de los primeros 5 términos de la serie aritmética 2 + 5 + 8 + 11 + 14.
Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2. Con n = 5, a₁ = 2, a₅ = 14: S₅ = 5(2 + 14)/2 = 5·8 = 40.
Quick check #2
¿Qué sección cónica tiene la ecuación x²/9 + y²/4 = 1?
Forma estándar x²/a² + y²/b² = 1 con denominadores positivos DISTINTOS es una elipse. (Si a = b, es un círculo. Si los signos difieren, hipérbola. Un término al cuadrado + uno lineal = parábola.)