수열, 급수(series) 그리고 원뿔곡선(conic sections)
Algebra 1에서는 등차·등비 수열을 배웠고, Algebra 2에서는 닫힌 공식(closed form)으로 그 합을 구합니다. 그리고 네 가지 원뿔곡선 — circle, ellipse, parabola, hyperbola — 을 방정식만 보고도 알아보게 됩니다.
합과 도형
이번 강의는 두 가지 큰 주제를 하나로 묶습니다 — 급수의 합(무한한 덧셈을 하나의 공식으로 압축하기)과 원뿔곡선(방정식만 보고 곡선을 알아보기). 두 주제 모두 패턴 인식에 강해질수록 유리합니다.
등차수열의 합 (arithmetic series)
Sn = n(a1 + an) / 2n = 항의 개수, a1 = 첫째항, an = 끝항첫째항과 끝항의 평균 × 개수. (양 끝을 짝지어 생각합니다.)
예제
2 + 5 + 8 + ... + 32 (공차 3)n = (32 − 2)/3 + 1 = 11개 항Sum = 11 · (2 + 32) / 2 = 11 · 17 = 187
등차급수의 합
등차급수 2 + 5 + 8 + ... + 32의 합을 구하세요.
a₁ = 2, d = 3, 끝항 aₙ = 32. n = (32 − 2)/3 + 1 = 11. Sum = n(a₁ + aₙ)/2 = 11 · 34 / 2 = 187.
등비수열의 합 (geometric series)
Sn = a1(rn − 1) / (r − 1) (r ≠ 1)무한급수 (|r| < 1일 때): S∞ = a1 / (1 − r)무한합은 공비 r의 절댓값이 1보다 작아야만 수렴합니다.
등비급수의 합
등비급수 3 + 6 + 12 + ... + 192의 합은 얼마입니까?
a₁ = 3, r = 2. 192 = 3 · 2ⁿ⁻¹ → 2ⁿ⁻¹ = 64 → n = 7. Sum = a₁(rⁿ − 1)/(r − 1) = 3(128 − 1)/1 = 381.
네 가지 원뿔곡선 (four conic sections)
판별 체크리스트
- x² + y² = r²: circle (반지름 r)
- x²/a² + y²/b² = 1: ellipse
- x²/a² − y²/b² = 1: hyperbola (마이너스 부호에 주의)
- y = ax² + bx + c: parabola (한 변수만 제곱)
방정식에서 원 찾기
방정식 x² + y² = 25은 무엇을 나타냅니까?
x² + y² = r²은 원점을 중심으로 하는 원입니다. 여기서 r² = 25이므로 r = 5입니다.
타원의 표준형
원점을 중심으로 하고 장축이 수평인 타원의 표준형은?
원점 중심의 타원: x²/a² + y²/b² = 1. a > b이면(즉 a가 x² 아래에 있으면) 장축이 수평입니다.
3초 요약
- 등차합: n(a1 + an)/2 — 양 끝을 짝짓기.
- 등비합: a1(rn − 1)/(r − 1). |r| < 1이면 무한합: a1/(1 − r).
- Conics: + ellipse/circle, − hyperbola, 제곱 항 하나면 parabola.
- 먼저 방정식의 형태를 읽고, 그 뒤에 공식을 고르세요.
스스로 확인하기
Quick check #1
등차급수 2 + 5 + 8 + 11 + 14의 처음 5개 항의 합을 구하세요.
Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2. n = 5, a₁ = 2, a₅ = 14: S₅ = 5(2 + 14)/2 = 5·8 = 40.
Quick check #2
x²/9 + y²/4 = 1은 어떤 원뿔곡선입니까?
표준형 x²/a² + y²/b² = 1에서 두 양의 분모가 서로 다르면 타원입니다. (a = b이면 원, 부호가 다르면 hyperbola, 제곱 항이 하나 + 1차 항이 하나면 parabola.)