Dãy số, chuỗi (series) và các đường conic
Algebra 1 giới thiệu dãy số cộng và dãy số nhân. Algebra 2 cộng chúng bằng công thức tổng đóng, và thêm bốn đường conic — circle, ellipse, parabola, hyperbola — nhận diện tức thì từ phương trình cho các em.
Tổng và hình dạng
Bài học này gộp hai chủ đề lớn — tổng của các series (nén một phép cộng dài thành một công thức) và conic sections (nhận diện một đường cong từ phương trình). Cả hai đều thưởng cho khả năng nhận diện mẫu.
Chuỗi cấp số cộng (arithmetic series)
Sn = n(a1 + an) / 2n = số hạng, a1 = số hạng đầu, an = số hạng cuốiTrung bình của số hạng đầu và số hạng cuối, nhân với số lượng. (Ghép cặp hai đầu.)
Ví dụ
2 + 5 + 8 + ... + 32 (công sai 3)n = (32 − 2)/3 + 1 = 11 số hạngSum = 11 · (2 + 32) / 2 = 11 · 17 = 187
Tính tổng chuỗi cấp số cộng
Tính tổng của arithmetic series 2 + 5 + 8 + ... + 32.
a₁ = 2, d = 3, số hạng cuối aₙ = 32. n = (32 − 2)/3 + 1 = 11. Sum = n(a₁ + aₙ)/2 = 11 · 34 / 2 = 187.
Chuỗi cấp số nhân (geometric series)
Sn = a1(rn − 1) / (r − 1) (r ≠ 1)Chuỗi vô hạn (|r| < 1): S∞ = a1 / (1 − r)Tổng vô hạn chỉ hội tụ khi giá trị tuyệt đối của công bội nhỏ hơn 1.
Tổng chuỗi cấp số nhân
Với chuỗi 3 + 6 + 12 + ... + 192, tổng bằng bao nhiêu?
a₁ = 3, r = 2. 192 = 3 · 2ⁿ⁻¹ → 2ⁿ⁻¹ = 64 → n = 7. Sum = a₁(rⁿ − 1)/(r − 1) = 3(128 − 1)/1 = 381.
Bốn đường conic
Danh sách nhận diện
- x² + y² = r²: circle (bán kính r)
- x²/a² + y²/b² = 1: ellipse
- x²/a² − y²/b² = 1: hyperbola (chú ý dấu trừ)
- y = ax² + bx + c: parabola (chỉ một biến bình phương)
Nhận diện đường tròn từ phương trình
Phương trình x² + y² = 25 biểu diễn:
x² + y² = r² là đường tròn có tâm ở gốc. Ở đây r² = 25, nên r = 5.
Dạng chuẩn của ellipse
Dạng chuẩn của một ellipse có tâm tại gốc với trục lớn nằm ngang là:
Ellipse có tâm ở gốc: x²/a² + y²/b² = 1. Trục lớn nằm ngang khi a > b (a dưới x²).
Tóm tắt 3 giây
- Tổng cấp số cộng: n(a1 + an)/2 — ghép cặp hai đầu.
- Tổng cấp số nhân: a1(rn − 1)/(r − 1). Nếu |r| < 1: a1/(1 − r).
- Conics: + ellipse/circle, − hyperbola, chỉ một biến bình phương = parabola.
- Đọc dạng phương trình trước, sau đó mới chọn công thức.
Tự kiểm tra
Quick check #1
Tính tổng 5 số hạng đầu của chuỗi 2 + 5 + 8 + 11 + 14.
Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2. Với n = 5, a₁ = 2, a₅ = 14: S₅ = 5(2 + 14)/2 = 5·8 = 40.
Quick check #2
Đường conic nào có phương trình x²/9 + y²/4 = 1?
Dạng chuẩn x²/a² + y²/b² = 1 với hai mẫu dương KHÁC nhau là ellipse. (Nếu a = b, đó là circle. Khác dấu → hyperbola. Một biến bình phương + một biến tuyến tính → parabola.)