Dãy số và chuỗi số: Cấp số cộng, cấp số nhân và tổng sigma

Bốn công thức xử lý mọi câu hỏi về dãy số của Pre-Calc — cùng quy tắc hội tụ quyết định xem tổng vô hạn có tồn tại hay không.

7 phútTEKS 5A-5CTiền Vi tích phân

Cấp số cộng

Mỗi số hạng chênh với số hạng liền trước một hằng số d (công sai). Số hạng thứ n: aₙ = a₁ + (n − 1)d. Tổng n số hạng đầu: Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2 = n/2 · [2a₁ + (n − 1)d].

Cấp số nhân

Mỗi số hạng bằng số hạng liền trước nhân với hằng số r (công bội). Số hạng thứ n: aₙ = a₁ · r^(n−1). Tổng hữu hạn: Sₙ = a₁ (1 − rⁿ)/(1 − r).

Chuỗi cấp số nhân vô hạn

Tổng hội tụ khi và chỉ khi |r| < 1. Khi đó: S∞ = a₁ / (1 − r).

📐 Ví dụ

1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... có r = 1/2, |r| < 1 → S = 1/(1 − 1/2) = 2. Nhưng 1 + 2 + 4 + 8 + ... có r = 2 ≥ 1 → phân kỳ (tổng bằng ∞, không có giá trị).

Ký hiệu sigma

Σ_{k=1}^{n} f(k) có nghĩa là "cộng f(k) với k = 1, 2, ..., n". Các đẳng thức hữu ích:

Σ k = n(n+1)/2
Σ k² = n(n+1)(2n+1)/6
Σ c = c · n (hằng số)
Σ [a·f(k) + b·g(k)] = a·Σf + b·Σg (tính tuyến tính)

Kiểm tra lại

📌 Tính

Tính tổng chuỗi vô hạn 3 + 1 + 1/3 + 1/9 + ...

Luyện tập với các câu hỏi kiểu CBE

Bài tập Pre-Calc Sem B cho dãy số và chuỗi số.